5多元复合函数及隐函数的微分法.ppt

同理，方程组两端分别对y求偏导数，解相应的未知量为 , 的线性方程组，可求得 解法2 利用一阶全微分形式不变性，方程组两端分别微分，有 以du, dv为未知量，解此方程组得 由全微分定义，可求得 一、多元复合函数求导法则 二、隐函数的求导公式 5.2.3 多元复合函数的求导法则 多元函数微分学 1° 基本形式的复合函数偏导数的链式法则 定理 : 设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可导，在对应(x,y)的点(u,v)处，函数z=f (u,v)有连续偏导数，则复合函数f［u(x,y),v(x,y)］在点(x,y)处也可导，且 多元复合函数的微分法 其中 将y固定，给自变量x以增量Δx, 证 于是函数u=(x, y), v=ψ(x, y)相应有增量Δu,Δv, 从而函数z=f (u, v)也有相应增量Δz ， 由于f (u, v)可微，所以 以Δx≠0除上式两端，得 当Δx→0时，对上式两端取极限，由定理条件即得 同理可证 上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的多元函数. 在满足定理的相应条件下，有: 例如，对三元复合函数Q=f (u, v, w) ,其中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=ω(x, y, z). 其结构图为: 例 设 z = eu cos v， 解 因为 可得 2° 其它形式复合函数偏导数的链式法则 称为全导数. 以上公式中的导数 如果函数 ) ( x u f = 及 ) ( x v y = 都在点 x 可 导,函数 ) , ( v u f z = 在对应点 ) , ( v u 具有连续偏导 数，则复合函数 )] ( ), ( [ x x f z y f = 在点 x 可导， 且其导数可用下列公式计算： dx dv v z dx du u z dx dz ? ? + ? ? = ． ( 1 ) 。 例 解: 故 =2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x . ( 2°) 若z=f (u)可导，u = u (x, y)有连续偏导数，(结构如右下图)，则对复合函数z=f ［u(x, y)］有 ( 3°) 若z=f (x, u), u = (x, y)均具有连续偏导数，则对复合函数z=f［x,u (x, y)］，有 例 3 求 与 解 于是 因为 所以 式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)， 有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w . 类似地， 可求得 例 4 设 解 在这个函数的表达式中， 乘法中有复合函数， 所以先用乘法求导公式. 2、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. . ), sin( 5 y z x z dz y x e z xy ? ? ? ? + = 与 ，并由此导出 不变性求 利用全微分形式 设 例 解 所以 5.2.4.隐函数微分法 一般地说，能用y=f (x), z=f (x, y)等已将因变量解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：F(x, y)=0, F(x, y, z)=0, 能确定出函数y=f (x), z=f (x, y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，有下面的： 例 设 求 解 则 由公式得 例 设函数z=f (x, y)由方程sinz=xyz确定， 求 解法1 则 故 设F(x, y, z)=sinz－xyz, 解法2 故 同理可得 方程sinz=xyz两边分别对x求偏导，得 例 设 求 解 : 欲求 ，应先求出 , 再求 ， 故 所以 所以，设F= 最后以x=1, y=－2, z=1代入即可. 由z=f (x, y)是由方程确定的隐函数， 故 例 设 其中 a , b , c 为常数， 函数 可微 证 两边对 x 求导 解得 ① 证明 同理 ② a ? ① + b ? ② 于是有 即为所证. **隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组确定的一元或多元隐函数