5离散型随机变量及其函数的分布.ppt

* * * 一维随机变量 定义—— 设随机试验的样本空间 的每一个样本点 均有唯一的实数 与之对应，称 为 上的一维随机变量。 如：掷骰子一颗，观察其点数。 样本点 表示“点数为 ” 令 与之对应，则 是一维随机变量。 又如：观察一电子元件的寿命。 样本点 表示“寿命为 小时 ” 令 与之对应，则 也是一维随机变量。 一维随机变量 引入随机变量之后，事件可用“随机变量属于某个数集”去表示。 如：掷骰子一颗，观察其点数。 表示“点数为 2，3，4。” 又如：观察一电子元件的寿命。 表示“元件寿命不大于 1500 小时 ” 表示“元件寿命在 100 小时以上但不超出 1500 小时 ” 随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。 对任意的数集 反映了随机变量的取值规律。 称为 随机变量的分布。 一维随机变量的分布函数 欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。 一般来讲，要对任意的数集 都求出 是不实际的。 称为 随机变量的分布函数。 考察特殊的数集 记作 随机变量的分布函数有以下重要性质： （单调非降） 记为 记为 是左连续的 一维随机变量的分布函数 随机变量的分布函数有以下重要性质： 一维离散型随机变量的分布 对于一维离散型随机变量，除分布函数之外，还可以把 随机变量的每一取值相应的概率罗列出来。 如果随机变量的所有取值是有限或无限可数的，则称之 为离散型随机变量。 称为随机变量 的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。 一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质： 或： 以 X 表示取出的小球的编号，试写出 X 的分布律。 解： 此分布称为（离散型的）均匀分布，对应的是古典概型。 例1 设口袋里装有 个带有标号的小球，从中随机取出一球， 一维离散型随机变量的分布 （ （ （ （ （ （ 例2 设口袋里装有3 个红球，2个白球，从中随机取出 4 球， 以 X 表示取出的白球数，试写出 X 的分布密度。 解： 此分布称为两点分布。 在两点分布中，若 X 的取值为 0，1，则称作 0 1 分布。 一维离散型随机变量的分布 例3 在一堆次品率为 的产品中有放回地每次抽取一件， 直到取到次品为止，求抽取的次数 X 的概率分布。 此分布称为几何分布。（与几何概率无关） 解： 一维离散型随机变量的分布 点点点表示运气特好！ 例4 某射手有 5 发子弹，他射击的命中率为 0.8 ，现他向一 目标射击，命中即止，求耗用子弹数 的概率函数。 解： 这里： 不是几何分布 唔？ 一维离散型随机变量的分布 例5 设在一次试验中事件Ａ出现的概率为　 X 表示Ａ在　次贝努里试验中出现的次数， 解： 此分布称为二项分布。对应 次贝努里试验。 一维离散型随机变量的分布 求 X 的分布律。 记作 一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有 例6 一大批零件的一级品率是 。从中任取 4 个，求取出的 解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作 4 次贝努里试验。 即 一个一级品的概率。 故 所求概率为 例7 设随机变量 的分布密度如下，求 解： 例8 设有15 个工人间歇地用电，在任一时刻每个工人都以同样 的概率 0.3 需要一个单位的电力，如果工人独立工作，问 在任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率是多 少？若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，供 解：设在任一时刻需要供应的电力为 X ，则 电系统最少供应多少个电力单位？ 则任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率为 设若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999， （查表得） 最少供应 个电力单位，则 查表得 若随机变量 X 的分布密度是： 则称 X 服从泊松分布，记作 泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。 其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的 平均数）。所以它的一个重要应用是—— 则近似地，有 若 且 较大,（ ）， 较小,（ ） 即： 例9 一台仪器平均在1000个工作小时内发生一次故障， 试求该仪器工作100个小时而无故障的概率。 解：设 A 表示“仪器在一小时内出故障”，则 令 X 表示 “100 个小时内 A 出现的次数”，则 近似 所求概率为： 由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故