5第六章解线性方程组的迭代法.ppt

* * 考虑 Ax=b，其中detA 0。当A为低阶稠密矩阵时，上一章讨论的选主元素消去法是有效方法。但对于工程实践中的大型稀疏矩阵方程组（A的阶数n很大，但零元素较多，如：n )，则利用迭代法解此线性方程组是合适的。迭代法在计算机内存和运算两方面，通常都可利用A中有大量零元素的特点。下面先举例说明迭代法的基本思想。 例： 先将Ax=b转化为等价方程组 迭代公式：选取初始向量 经10次迭代解： 精确解为 若取 则 一般地，对于线性方程组 Ax=b .转化为等价方程组 x=Bx+f,设有唯一解 ，则 （1） 又设 为任取初值向量。按下列方式产生迭代向量序列： 可见由迭代法产生的向量序列 逐次逼近方程组的精确解。但是，并不是对任何一个方程组，由迭代法产生的向量序列 均收敛到精确解的。如用迭代法解下面的线性方程组： k为迭代次数。 （2） 由（1），（2）得： ，从而递推得： 为讨论 收敛性，引进误差向量： 定义1：对x=Bx+f.用（2）逐步求近似解的方法称为迭代 法（又称为一阶定常迭代法，这里B与k无关）。 若 存在（记为 ）。称此迭代法收敛。 显然 就是方程组的解。若极限不存在，则称迭代法发散。 亦即B满足什么条件使 （零矩阵） 。 要 收敛于 。则须考察B在什么条件下 ， 又将A分裂为：A=M-N。则（1）等价于 Mx=Nx+b (3) 其中M应选择为一个非奇异阵。并使 Mz=f 容易求解。 对Ax=b. 设detA 0. 0. (i=1~n) (1) 将A改写为: A= - - =D-L-U (2) （初始向量）， 其中： （5） J称为Jacobi迭代法的迭代矩阵。 可得:Jacobi迭代公式： 特别地，若选取 M=D 则N=M-A=L+U 从而（1）化为： Dx=(L+U)x+b 对应于（3）可构造一个迭代过程：初始向量 ， （4） Jacobi迭代法的分量形式： 引进记号： 为第k次近似， 由（5）有: Jacobi迭代公式简单，由公式（5），（6）可知，每迭代一次只 需计算一次矩阵与向量乘法，计算机中只需要两组工作单元用来保存 及 且可用 来控制迭代终止。由迭代计算公式可知，迭代法一个重要特征是计算过程中原来矩阵A数据始终不变。 前一个例子即为Jacobi法求解，在此不再举例。 （6） 在（3）中选取M=D-L（下三角阵），则N=M-A=U。 从而（1） 化为等价的：（D-L）x=Ux + b (7) 可得Gauss-Seidel迭代公式： 初始向量 x(0) ，