6-1-2二次型及其标准型.ppt

　　(2)　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方 法配方. 思考题 P155例6.4（试用不同的变换） 思考题解答 三、正交变换化实对称矩阵为标准型 * * 中南财经政法大学信息系 第六章 二次型 定义6.1 称n元二次齐次函数 (6.1) 为 的一个n元二次型，若其中系数 均为实数，称之为实二次型。本章只讨论实二次型。 一、二次型的定义 (6.1)式可以写成 记 (6.2) f 也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式： 证明如下: 称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式， 矩阵A称为二次型 所对应的矩阵，矩阵A 的秩称为二次型 的秩。 在A中， 为（6.1)中 的系数， 为 （6.1）中混合项系数 的一半。 显然，A是一个n阶对称矩阵，即 。 从二次型的定义可以看到：(1) 二次型的矩阵都是对称的矩阵。(2) 二次型和它的矩阵是一一对应的。 例1 1）写出二次型 所对应的矩阵。 2）写出矩阵 所对应的二次型。 解 1）原二次型所对应的对称矩阵为： 2）矩阵对应的二次型为： 定义6.2 设有两组变量 ； ，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有： （6.3） 二、线性变换 则称上式为由 到 的一个 线性变换（或线性替换） 由系数组成的矩阵 称为线性变换（6.3）的矩阵。 记 ； ， 那么，（6.3）式可以写为： 若 ，则称（6.3）式为可逆（或非退化）的线性变换。若C为正交矩阵，则称（6.3）为正交线性变换。 注意：本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换 . 本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。 做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是合同。 定义6.3 设A和B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得，那么 ，称A与B合同。 合同关系具有下列性质： (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性 (4)合同的矩阵有相同的秩 三、矩阵的合同关系 定理6.1 二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。 证明：设二次型 ，经过可逆线性替换 ,得： 设 ，则可得： 又因为 所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵 又因为有 ，C可逆，所以A与B合同。 注：新二次型的秩与原二次型相等。 定义6.4 若二次型 经过 可逆线性替换 化为 （6.4） 称这种只具有平方项的二次型（6.4）为二次型（6.1）的标准形 . 一、二次型的标准形 将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式： 二次型 的秩等于中非零元素 的个数 说明 定理6.2 任意一个二次型 都可以 经过非退化的线性变换 化为标准形： 二、配方法化二次型为标准形 证明：数学归纳法。 定理6.2的矩阵描述： 定理6.3 任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵 合同。即对任意一个对称矩阵A，存在一个可逆矩阵C，使 ，D为对角形。 证明：设A为n阶对称矩阵，那么可以得到唯一的二次型 根据定理6.2， 可以通过可逆线性变换 化为标准 形 ，其中D为对角形。 又根据定理6.1可知 解 例2