6-2单服务台指数分布排队系统.ppt

第6章 典型的排队模型分析 生灭随机过程—平稳状态的涵义 一般来说，要求得系统在任一时刻的任意状态出现的概率是很困难的，通常是求当系统达到平稳状态【顾客到达（生）=顾客离开（灭）】后的状态分布。 假设系统处于任一状态n，记录一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，“进入”与“离开”两种事件发生的平均概率是相等的。 当系统平稳后，对任意状态n，单位时间内进入该状态的平均次数和离开该状态的平均次数应该相等，即系统在统计平衡下“转入率=转出率”。 * * 有限源 排队系统 无限源 排队系统 1个服务台 C个服务台 1个服务台 C个服务台 M/M/C/N/∞/FCFS 混合制排队系统 M/M/1/N/∞/FCFS 混合制排队系统 M/M/C/m/m/FCFS M/M/1/m/m/FCFS M/M/1/1/∞/FCFS 损失制排队系统 M/M/C/C/∞/FCFS 损失制排队系统 M/M/C/∞/∞/FCFS 等待制排队系统 M/M/1/∞/∞/FCFS 等待制排队系统 排队论模型逻辑框架 6.1.1单服务台指数分布排队系统 M/M/1无限源排队系统 一、最基本的单服务台排队模型 M/M/1/N/∞/FCFS 6.1 客源无限的排队系统 1、系统的意义 顾客按泊松流输入,平均到达率为λ； 服务时间服从负指数分布,平均服务率为μ； 1个服务台； 系统容量为N,顾客源无限,排队规则为先到先服务的混合制排队系统。 当顾客来到系统时,若系统中的顾客已经等于N，则自动离去,另求服务 。 2、状态转移速度图 （1）系统状态 ：系统中的顾客数。 （2）状态转移速度图： N-1 N N-2 2 1 0 …… μ μ μ μ λ λ λ λ M/M/1/N/∞/FCFS系统状态转移速度图 ? 圆圈表示状态符号 ，箭头表示从一个状态到另一个状态的转移； （3）写出状态转移速度矩阵Λ，进而写出系统稳态条件下的状态概率平衡方程（简称状态概率方程） 状态转移速度矩阵的特点是: 每一行元素之和等于0。 注 意 转入率＝转出率 0 1 2 3 …… N-1 N 0 1 2 … N-1 N 状态概率方程：PΛ=0 （6-1） 其中， P=（P0，P1，P2，P3，……，PN） 把状态概率方程(6-1)打开,写成状态概率方程组,即可求出基本概率指标。(方法1) PΛ=0 第一项： ①基本概率指标： 继续打开，计算整理得： ，1≤n≤N （6-2） 代入 得 于是 （6-3） （6-4） 则 当系统处于稳态时，对每个状态来说，转入率应等于转出率。 根据这个结果，即可获得系统稳态条件下的状态概率方程，进一步即可计算稳态系统的各项运行数量指标。 当系统状态为0时，有 所以 得到状态概率方程组的第2种方法 N-1 N N-2 2 1 0 …… μ μ μ μ λ λ λ λ 当系统状态n≥1时，有 当系统状态n=N时，有 于是得到简化形式的稳态概率方程组： ，1≤n≤N （6-2） 代入 得 于是，得到P0的表达式（6-3）和Pn的表达式（6-4）。 P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率即服务台忙的概率（系统满的概率 或系统的损失概率 ） P忙=1-P0 （6-5） ②平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和平均队列长Lq： （6-6） （6-7） ③有效到达率λe（有效离去率μe ）——平均每单位时间进入（离去）系统的顾客数；在稳态情况下两者相等，因此有： （6-8） ?逗留时间ws和等待时间wq： 李泰勒(Little)证明了在很宽的条件下排队系统数量指标之间成立以下的关系式： （6-9） 由平均服务率μ的定义可得到每个顾客的平均服务时间为1/μ，因此有： （6-10） ?其它： ? 由李泰勒公式还可得到： ?平均队长和平均队列长的另一组计算公式： ? 有效到达率的另一种计算公式 λe=λ（1-PN）+0PN (系统不满时顾客以λ的速度 进入系统） =μ（1-P0）+0P0 （系统不空时顾客以μ的速度 离开系统） ?系统平均每单位时间损失的顾客数 λ损=λ-λe=λPN ?闲