6-2点估计的评价标准.ppt

* * * 第六章 第二节 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,用不同的方法（或同一方法）得到的估计量可能不同,于是提出问题： 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1)相合性(一致性) (3)有效性 (2)无偏性 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 定义: 设 是总体参数? 则称 是总体参数? 的相合 (或一致)估计. 的估计. 若对于任意的? ? ? , 当n? ?时, 一、相合性 依概率收敛于? , 即 实际中,估计量应随着样本容量n的增大而愈稳定于其真值. 注：相合性是对估计的最基本要求，由定义，证明估计具有相合性可用依概率收敛的性质和各种大数定律。 判断一致性的三个常用结论 由辛钦大数定律可证 用切贝雪夫不 等式证明 是? 的相合估计量. 2. 设 是 ? 的一个估计, 且 则 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 3. 若 分别是 的相合 估计， 是 的连续函 数，则 是 的相合估计. 定理1 定理2 例1. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本, 证明：θ的最大似然估计是相合估计. （P294） 例2. 为参数, 则 是? 的相合估计. 注: (1) 为EX的相合估计 ; (2) s＊2是 Var(X)的 相合估计； （3）s2 也是Var(X)的 相合估计； （4）s (或s*)是 的相合估计； （5） 是 的相合估计. x 例3. 设一个试验有三种可能结果, 其发生的概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1， n2， n3，则用频率替换法得到的θ的估计为相合估计. ( P295) 二、无偏性 (Unbiasssed Estimate) 无偏性的意义是：用一个估计量去估计未知参数?, 有时候可能偏高,有时候可能偏低, 但是平均来说它等于?. 则称 为 的无偏估计. ，若对任意? ? ?，有 定义：设 是未知参数 的估计， 注：无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指无系统性偏差。 例4.对任一总体X（均值为? ,方差为? 2), 样本均值为总体均值的无偏估计.更一般,当总体的k 阶矩存在时,样本的k阶原点矩ak 是总体k阶原点矩?k 的无偏估计. 而对中心矩此结果则不成立。 证: 因而 由于 注1: 是?和?2的无偏估计(而S*2有偏).因此S2称为无偏方差. 样本二阶原点矩 是总体二阶原点矩 的无偏估计. 总体为N(μ,σ2),证明:样本标准差S不是总体标准差?的无偏估计,而是渐近无偏估计. (P296) 例5. 注 2.由于 ,称 的渐近无偏估计 注 3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）. 例6. 设 是总体 X 的一个样本 , X~b(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 分析: 由于样本原点矩是总体原点矩的无偏估计以及数学期望的线性性质, 一般只要将未知参数表示成总体原点矩的线性函数, 然后用样本原点矩作为总体原点矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量肯定为无偏估计量. 解： 因此, p 2 的无偏估计量为 故 例7. 设 是总体 X 的一个样本 , X ~ b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1／p 的无偏估计不存在. 例8. 设总体 X 的密度函数为 为参数， 为 X 的一个样本， 证明 与 都是θ的无偏估计. 证： 故 故 是? 的无偏估计量. 即 故 n x(1) 是? 的无偏估计量. 的密度为 都是总体参数? 的无偏估计量， 则称 比 更有效. 定义: 设 三、有效性