6-波函数薛定谔方程一维无限深势阱.ppt

作者：杨茂田 OfficeXp 版 量子物理 §波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱 P. * / 33 . 仙女座 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立了描述微观粒子运动规律的量子力学。 背景 波恩 薛定谔 海森伯 狄拉克 德布罗意 一、物质波波函数 微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示! A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角 A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角 例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程： 也可用复数形式来表示： 例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程： 也可用复数形式来表示： Ψ (x) : 该波动方程的定态波函 数，不含时间变量。 Ψ (x) : 该波动方程的定态波函 数，不含时间变量。 如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t ) ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。 ① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t ) ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。 ① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 仿此关系，物质波的强度∝|Ψ ( x, y, z, t ) |2，物质波的强度称作粒子在空间某点 (x, y, z) 处出现的概率密度，记作w( x, y, z, t ) : 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv 概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv 若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx 若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出现的概率为： 玻恩(M.Born，1882 - 1970)德国物理学家，1926 年提出波函数的统计意义，为此与博特(W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝尔物理学奖。 dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx 若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出现的概率为： ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即： 对于一维： （归一化条件） ④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。 dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx 对于一维： ④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。 例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数： 例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数： 复数形式： 复数形式： 仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数： 而 上式可写成： 仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数： 而 上式可写成： 其中： 称为一维自由粒子的定态波函数。 其中： 称为一维自由粒子的定态波函数。 二、薛定谔方程 ( v c ) 对自由粒子：其定态波函数为 ，则： 上式可应用到非自由粒子情形。 二、薛定谔方程 ( v c ) 对自由粒子：其定态波函数为 ，则： 上式可应用到非自由粒子情形。 能量： 动量： 对非自由粒子 对非自由粒子 能量： 动量： 即：对非自由粒子 称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程： 即：对非自由粒子 称为一维定态薛定谔方程。 三维定态薛定谔方程： 其中， 称为拉普拉斯算符。 薛定谔 (Erwin S