6-特征值与特征向量.ppt

特征值与特征向量 【探究】 1、计算下列结果： 以上的计算结果与 的关系是怎样的？ 2、计算下列结果： 以上的计算结果与 的关系是怎样的？ 例题分析 Ma＝la l为矩阵M的特征值, a为矩阵M的属于特征值 l的特征向量。 特征值及特征向量的定义 建构数学 设矩阵A＝ ，如果对于实数l，存在一个 非零向量a，使得Aa= la，则称l是矩阵A的一个特征值。 a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。 这时，特征向量或者方向不变(l0)， 或者方向相反(l0). 特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量. 设l是矩阵A= 的一个特征值，它的一个 特征向量为 则 即 满足方程组 故 此时Dx=0、Dy=0. 则D=0 即 因 ≠0，所以x, y不全为0， 建构数学 设矩阵A＝ ，l∈R，我们把行列式 称为A的特征多项式。 分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)=0 此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解 即 为矩阵A的属于l的一个特征向量. 数学运用 例1、求出矩阵A= 的特征值和特征向量 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？ 思考： 总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤： 其几何意义是什么？ 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。 【定理1】 属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线. 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 【定理2】 属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？ 思考： 探究： 1、矩阵A= 的特征向量是什么？ 怎样从几何角度加以解释？ 2、从几何角度解释 的特征向量。 P73 习题2.5 1.求特征值与特征向量: （2008江苏高考） 设椭圆4x2+y2=1在矩阵 对应的变换下得到 曲线F, 求F的方程. （2009江苏高考） 求矩阵 的逆矩阵. 在平面直角坐标系xoy中, 已知点A(0, 0), B(-2, 0), C(-2, 1), 设k为非零实数, 矩阵M= , N= ， 点A, B, C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1, B1, C1, △A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍, 求k的值。 （2010江苏高考） 知识回顾 2、自学课本69至70页内容，总结求 的步骤。 新课讲解 建构数学 建构数学 任意向量都可以用特征向量来表示。 数学运用 P73 习题2.5 3. 例4.已知二阶矩阵M有特征值 及对应的一个特征 向量 ,并且矩阵对应的变换将点(-1,2)变成(-2,4) (1) 求矩阵M； (2) 求矩阵M的另一个特征值及对应的特征向量； (3) 求直线l: x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l/. l/: x-y+1=0