6.1多元函数的基本概念.ppt

一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 确定极限不存在的方法: 找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等; 令p(x,y)沿某一定曲线趋向于 时,极限不存在. 三、多元函数的连续性 四、小结 * * 一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 四、小结 第一节 多元函数的基本概念 （1）邻域 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （3）聚点 1. 内点是聚点； 说明： 2. 边界点是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n维空间 1. n维空间的记号为 说明： 2. n维空间中两点间距离公式 3. n维空间中邻域、区域等概念 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 设两点为 （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 例2 设 求 解 多元函数也有单值性与多值性的概念. 例如： 单值分支 一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x)，其定义域为D?Rn，集合X?D.若存在正数M，使对?x?X，有|f(x)|?M，则称f(x)在X上有界，M称为f(x)在X上的一个界. （6） 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 单值分支: 例3、已知 求 . 例4、已知 求 . 二元函数也有复合函数 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 例3 求极限 解 其中 例4 设 证明 不存在． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 例5 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 例6 证明 不存在． 利用点函数的形式有 定义3