6.2(统计量与抽样分布).ppt

6.2 统计量与抽样分布 6.2 统计量与抽样分布． 6.2.1 统计量 定义6.2 设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，称不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，…，Xn)为统计量．若x1，x2，...，xn为样本观测值，则称g(x1，x2，...，xn)为统计量g(X1，X2，…，Xn)的观测值. 统计量是处理、分析数据的主要工具．对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数． 6.2.1 统计量 【例6.4】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(?，? 2)，其中? 、? 2为未知参数，则 X1， min{ X1，X2，…，Xn } 均为统计量， 但诸如 等均不是统计量，因它含有未知参数? 或?． 常用的统计量有如下几种： 6.2.1 统计量 1. 有关一维总体的统计量 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，xn为样本观测值， (1) 样本均值 常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为 6.2.1 统计量 (2) 样本方差 (3) 样本标准差 样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量. 观测值分别为 6.2.1 统计量 (4) 样本k阶原点矩（简称样本k阶矩） ，(k = 1，2，…) (5) 样本k阶中心矩 ，(k = 2，3，…) 显然 Ak和Bk的观测值分别记为 6.2.1 统计量 定理6.1 设总体X的期望E(X) = ? ,方差D(X) = ? 2，X1，X2，…，Xn为总体X的样本， ，S2分别为样本均值和样本方差，则 6.2.1 统计量 由辛钦大数定理和依概率收敛的性质可以证明 定理6.2 设总体X的k阶原点矩E(X k) = ? k存在（k = 1，2，…，m），X1，X2，…，Xn为总体X的样本，g(t1，t2，…，tm)是m元连续函数，则 特别有 6.2.1 统计量 2. 有关二维总体的统计量 设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为二维总体(X，Y)的样本，其观测值为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列各量为统计量： (1) 样本协方差 (2) 样本相关系数 其中 SXY和RXY常分别用来作为总体X和Y的协方差Cov(X，Y)与相关系数?XY的估计量． 6.2 统计量与抽样分布 6.2.2 抽样分布 统计量的分布称为抽样分布．为了研究抽样分布，先研究数理统计中三种重要的分布． 6.2.2 抽样分布 1. ?2分布 定义6.3 设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量 服从自由度为n的?2分布，记为?2 ～ ?2(n)． 此处自由度指?2中包含独立变量的个数． 可以证明，?2(n)的概率密度为 其中?(?)称为伽马函数， 6.2.2 抽样分布 ?2分布概率密度 图6-9 ?2(n)分布的概率密度曲线 可以看出，随着n的增大，的图形趋于“平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动． 6.2.2 抽样分布 ?2分布具有下面性质： (1) (可加性) 设 是两个相互独立的随机变量，且 (2) 设 证明 (1) 由?2分布的定义易得证明． (2) 因为 存在相互独立、同分布于 N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使 则 6.2.2 抽样分布 由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得 英国统计学家费歇（R.A.Fisher）曾证明，当n较大时， 近似服从 6.2.2 抽样分布 2. t分布 定义6.4 设X ～ N(0，1)，Y ～ ?2(n)，X与Y独立，则称随机变量