6.2概率论与数理统计.ppt

2、几个常用的统计量统计量 * * 确定统计量的分布 是数理统计的基本 问题之一 正态总体是最常见的总体, 本节介绍 的几个抽样分布均对正态总体而言. §6.2 统计 量及其分布 1.定义：设X1， … ，Xn是取自于总体X的样本 称样本X1， … ，Xn 的函数g(X1， … ，Xn )且不含未知参数,则称g(X1， … ，Xn )是总体X的一个统计量. 例：设X1， … ，Xn是取自于总体X～ 的样本, 其中 未知 一、统计量 这里 都是统计量, 不是统计量. 而 §6.2 统计量及分布 3.样本k阶矩 k阶原点矩 k阶中点矩 性质 如果总体X的期望为?，方差为?2，则 证明 (1)、(2)的证明留给读者，下面证明性质(3)。 1、样本均值的分布 ,则 二.统计量的分布 定理1:若 相互独立, 设X1， … ，Xn是取自于总体X～ 的样本 特别地: 例1: 设X1， … ，Xn 是取自于总体 的样本, 是样本均值, 试分别求出 和 在区间 上的概率,并且指出 服从什么分布. 二、 样本方差的分布 (1)卡方分布定义 设 相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1),则称 注1 n = 1 时,其密度函数为 注2 n = 2 时,其密度函数为 为参数为1/2的指数分布. 其中 称为?函数，其具有性质 一般 的密度函数为 自由度为 n 的 在? 0时收敛， n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15 分布的性质 定理2 相互独立； (3)样本方差的分布 说明:本定理是统计学的核心定理,其证明也是统计学 比较经典的证明. 三. 样本均值与样本方差适当比值的分布 则称T 服从自由度为 n 的T 分布,记为T ~t(n). 其密度函数为 X ,Y相互独立, 设 1.t分布的定义 t 分布的图形(红色的是标准正态分布) n = 1 n=20 2.t 分布的性质 f n(t)是偶函数, 定理3 3.样本均值与样本方差适当比值的分布 设X1， … ，Xn是取自于总体X～ 的样本 证明 与 相互独立 并且 所以,由t-分布的定义有: 则 相互独立的简单随机样本. 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 与 相互独立 四.两个样本的方差比值的分布 则称 F 服从为第一自由度为n ,第二自由度为 m 的F 分布. 其密度函数为: X, Y 相互独立， 设 令 1.F 分布定义及性质 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10 性质: 若 2.两个样本的方差比值的分布 定理4 相互独立的简单随机样本. 令 设 与 分别是来 自正态总体 与 的 则 * * *