6.5图形相乘法结构力学.ppt

All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院? * * 6.5　图形相乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式 一、简化的条件（适用条件） 1）杆段的EI为常数； 2）杆段的轴线为直线； 3）杆段的图和MP图中至少有一个为直线图形。 (a) 二、简化方法 式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而 即为整个MP图的面积对y轴的静矩。用x0表示MP的形心至y轴的距离，则有 (b) x y O x x0 y0 dx A A B B C 形心 面积A dA=MPdx MP图 MP 图 =xtana y0 =x0tana a 即 将式（b）代入（a），有 式中，y0=x0tana，是MP图的形心C处所对应的图中的竖标。 可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标y0，再除以EI。 这种以图形计算代替积分运算的位移计算方法，就称为图形相乘法（图乘法）。 (6-16) 如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 (6-17) 三、应用图乘法的注意事项 1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。 2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在异侧时，应取负号。 3）下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，即M图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点，而曲线顶点处的切线均与基线平行，该处剪力为零。 l l l l l h h C C C C C C C 2l/3 l/3 (l+a)/3 (l+b)/3 a b l/2 l/2 3l/4 l/4 3l/8 5l/8 2l/5 3l/5 4l/5 l/5 顶点 顶点 顶点 二次抛物线 二次抛物线 A=hl/2 A=hl/2 A=2hl/3 A1 A2 A1 A2 A1 =2hl/3 A2 =hl/3 A1 =3hl/4 A2 =hl/4 4）如果MP与均为直线，则y0可取自其中任一图形。 5）如果是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图乘，然后叠加。 A1 A2 y01 y02 MP图 图 6）如果杆件为阶形杆（EI为分段常数），则应按EI分段图乘，然后叠加，如图所示。 MP图 A1 A2 y01 y02 EI1 EI2 图 7）如果MP图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别与图互乘，然后叠加。 其中 梯形的分解 A1 A2 y01 y02 MP图 图 a b c d l 当MP或图的竖标a、b或c、d不在基线同侧时，如图6-19b所示，处理原则仍和上面一样，可将MP分解为位于基线两侧的两个三角形（其中A1在上侧，A2在下侧），按上述方法，分别图乘，然后叠加。 MP图 A1 A2 y01 y02 a b c d l 图 = + 抛物线非标准图形的分解 MA MB qa2/8 MA MB dx qa2/8 A B MA MB a q A B MA MB qa2/8 a MA MB dx qa2/8 A B a MA MB A B q = + 四、应用图乘法的计算步骤 1）作实际荷载弯矩图MP图； 2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； 3）用图乘法公式（6-17）求位移。 例6-7】试求图6-21a所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转角qB。已知EI=常数。 解： (1)作实际荷载弯矩图，如图6-21b所示。 q A B C l l/2 l/2 A B C ql2/8 A1 A2 A0 MP图 (2)加相应单位荷载，作单位弯矩图 (3)用图乘法公式（6-17）求位移： 将MP图与 图相乘，则得 q A B C l l/2 l/2 A B C ql2/8 A1 A2 A0 MP图 A A B B C C y01 y02 y0 l/4 1 1 1 图 图 ( ) 将MP图与 图相乘，则得 q A B C l l/2 l/2 A B C ql2/8 A1 A2 A0 MP图 A A B B C C y01 y02 y0 l/4 1 1 1 图 图 【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。 解：(1)解法一 作MP图，并按A1、A2、A3、A4四部分划分，如图所示 A A A B B B C C C l/2 l/2 l q ql A1 A2 A3 A4 y01 y02 y03 y04 l MP图 图 1 (2)解法二 作MP图，并按A1、A2两部分划分，如图所示。 计算结果与前法完全