6.【苏教版高考数学复习导航(第1轮)理】角和距离的向量解法.ppt

点到平面的距离 【解析】以D为原点，取直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系. (1)证明：易知D1(0,0,4), O(2,2,4), P(0,4,1), A(4,0,0)， 所以D1O=(2,2,0), PA=(4,-4,-1)， 则PA · D1O=8-8=0. 于是PA⊥D1O. 又PA⊥OH，且OH∩D1O=O， 所以PA⊥平面D1OH，所以PA⊥D1H. (2)因为AB=(0,4,0), AD1=(-4,0,4), 所以平面ABD1的一个法向量为 n=(1,0,1), 所以AP在n上的射影 为 , 即点P到平面ABD1的距离为 . 求点到平面的距离的向量方法是利用向量数量积的几何意义，这是用向量方法求距离的重要应用. 【变式练习4】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°， AC=BC=a, D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M—DE—A为30°. 求MA的长，并求点C到平面MDE的距离. 【解析】以C为原点，取CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系. 设|AM|=c. 因为ED= , 所以EM= ， 则平面DEM的一个法向量为 n=(0, 2c, a). 又平面ABC的法向量为AM=(0,0,c), 则 ， 得 , 于是|AM|= . 因为CE= ，且 n= , 所以点C到平面MDE的距离为 . (1) 异面直线所成的角 用向量法求异面直线所成的角的关键是构造直线的方向向量，利用向量的数量积进行计算. 长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2 , AA1=1, E , H分别是A1B1和 BB1的中点. 求： (1)异面直线EH与AD1所成的角的余弦值； (2)异面直线AC1与B1C所成的角的余弦值. 【解析】分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则A(2 , 0 , 0), B(2 , 2 , 0), C(0 , 2, 0), D1(0 , 0 , 1), C1(0 , 2 , 1), E(2 , 1 , 1), H(2 , 2 , ), B1(2 , 2 , 1), 所以HE=(0 , -1 , ), AD1=(-2 , 0 , 1), |HE|= , |AD1|= , AC1=(-2 , 2 , 1), CB1=(2 , 0 , 1), |AC1|=3 , |CB1|= . (1)因为HE · AD1= , 所以 . 所以异面直线EH与AD1所成的角的余弦值 为 . (2)因为 所以异面直线AC1与B1C所成的角的余 弦值为 . 直线与平面所成的角 (1)证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO. 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又∠ABC=45°，所以△AOB为等腰直角三角形， 所以AO⊥OB. 如图，以O为坐标原点，OA为 x 轴正向，建立直角坐标系O—xyz. 则A( , 0 , 0)，B(0 , , 0)， C(0 , , 0)，S(0 , 0 , 1)，SA=( , 0 , -1)，CB=(0 , , 0). 所以SA · CB=0