6概率论与数理统计.ppt

* fY(y) = fX[h(y)]|h’(y)|, ayb , =0, 其它, 其中 a=min{g(x)},b=max{g(x)},h(y)是g(x)的反函数。 证明思路: g’(x)0,严格单调, a、b存在,反函数h(y)存在, 分段考虑：FY(y)=0,ya; FY(y)=1,by; 对ayb FY(y)=P{Y ? y}=P{g(x) ? y}=P{X ? h(y)}=FX(h(y)) 定理: 随机变量X具有概率密度fX(x) ,设函数g(x)处 处可导且有g’(x)0(或恒有g’(x)0)则Y=g(X)是 连续型随机变量,其概率密度fY(y)为 * 例2.fX(x)=x/8,0x4; =0, 其它. Y=2X+8= g (X), 求fY(y) 解: g’(x)=20; a=8; b=16; 反函数存在, h(y)=(y-8)/2; 于是,对8y16 fY(y) = fX[h(y)]|h’(y)| =(1/8)((y-8)/2)(1/2)=(y-8)/32, =0, 其它, 例06-5 * 例4,随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布N (μ,σ2). Y=cX+d,c非0, 求：fY(y). 例06-6 * 解: g (x)=cx+d, g’(x)=c,或0,或0; a=-∞; b=∞; 反函数存在, h(y)=(y-d)/c, h’(y)=1/c fY(y) = fX[h(y)]|h’(y)|= fX((y-d)/c)|1/c| * Y服从参数为(cμ+d),(cσ)的正态分布N((cμ+d),(cσ)2 )。 取c=1/σ, d = -μ/σ, 则Y服从参数为(0,1)的标准正态分布N (0,1)。 * 引理:X~N(?, ? 2)则Z=(X - ?)/ ? ~ N(0,1) 证明: P{Z ? x}= P{(X - ?)/ ? ? x}= P{X ? ? + ? x} 令 u=(t -μ)/ ? P{Z ? x} ,证毕。 这是例2.4.4 也可以有如下的证明 * 由引理: X~N (?, ? 2) 则 Z= (X -?)/ ? ~ N (0,1) 于是, P{x1 ? X ? x2} = P{(x1 - ?)/ ? ? Z ? (x2 - ?)/ ?} = ?((x2 - ?)/ ?) - ?((x1 - ?)/ ?) “ 查附表2” * 例3.将一温度调节器放在某液体中.调节器定在d度,液体温度X ~N(d,0.52). 1.d=90,求X小于89的概率, 2.若要求保持液体温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少? Z= (X - d) / (0.5) 1. P{X89}= ?(-2)=1- ?(2)=1-0.9772=0.0228 2. P{X80}0.99 ?(z)?0.01; (80-d)/0.5?-2.327 d81.1635 例06-7 * 例5. 设电压V=Asin(X)。A为已知常数,相角X在区间(-π/2,π/2)上服从均匀分布.求V的概率密度. 解:在区间(-π/2,π/2)上,g (x)= A sin(x), g’(x)= A cos(x)0。x=h(v)=arc sin(v/A), h’(v)=1/√(A2-v2)。 在区间(-π/2,π/2)上, f(x)=1/π, 代入后得:在区间(-A,A)上, fV(v)=1/(π√(A2-v2))。 例06-8 * (六)结束 作业: 习题二的 19, 22, 25 * 19 * 22 * 25 再见 * 99-9-28 ’ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A B C D E F G H I R P Q A B C D E F G