7-1向量及其线性运算.ppt

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间点的直角坐标 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 * 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 或 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. [1] 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 1、向量的加减法 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 2、向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 任给向量 ，对应有点 如图所示： 向量的坐标表示 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 解 设 为直线上的点， 由题意知： 1、两点间的距离公式 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 设向量 向量模长的坐标表示式 2、向量的模 解 原结论成立. 解 设P点坐标为 所求点为 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 3、方向角与方向余弦 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 解