7-1向量及线性运算三版.ppt

向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的加减法 三、向量与数的乘法 一、向量的概念 设有两个向量a,b,任取空间一点O, 向量的平行（共线） 二、向量的加减法 由三角形两边之和大于第三边的原理有 三、向量与数的乘法 .定理是建立数轴的理论依据 给定一个点及一个单位向量，就确定了一个数轴。 设点o及单位向量i确定了数轴ox,如图 对于轴上任一点P,对应一个向量， 四、小结 * * * 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 或 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.记作 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 称为向量a与b的夹角。 两个非零向量如果它们的夹角为0或 （方向相同或相反），都称这两个向量平行。记作 两个非零向量如果它们的夹角为 ，称这两个向量垂直. 记为 可以认为零向量与任何向量都平行。 两向量平行，又称两向量共线。 向量的共面 设有k（k2)个向量，当把它们起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在同一个平面上，就称这k个向量共面。 [1] 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 其中等号在a 与b同号或反号时成立 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 习题7-1.2 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （平行四边形法则） （注意数乘后的方向） * * * *