7-1概率统计经典讲义.ppt

第七章 参 数 估 计 理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威 总体是由总体分布来刻画的. 总体分布类型的判断──在实际问题中,我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法,有时可以判断总体分布的类型. 总体分布未知参数的估计──总体分布的参数往往是未知的,需通过样本来估计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计推断的一种重要形式. 现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数组成 . （假定身高服从正态分布 ） 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 为1.68， 这是点估计. 这是区间估计. 估计 在区间[1.57, 1.84]内， 假如我们要估计某队男生的平均身高. §1 点 估 计 设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数是未知的，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数值的问题称为参数的点估计问题。 一、基本概念 例1 已知某地区新生婴儿的体重X~ 随机抽查100个婴儿 … 得100个体重数据 9, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 呢? 据此,我们应如何估计 和 而全部信息就由这100个数组成. 点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;θ )的形式为已知，θ是待估参数. X1, X2, … ,Xn是X的一个样本，x1, x2, … ,xn是相应的一个样本值. 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 (称为θ的估计量)，并用它的观察值 （称为θ的估计值）作为未知参数θ的近似值. 寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩,其理论依据是大数定律. 矩估计法是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 . 是由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 二、矩估计法 总体k阶矩: 样本k阶矩: 总体k阶中心矩: 样本k阶中心矩: 步骤一 设总体X的分布函数中含有k个未知参数 一般地, μ m (m=1,2, ? ,k)是总体分布中的参数?1,?2,?,?k的函数，即： μm= μm (?1,?2,?,?k) (m=1,2, ? ,k) 计算总体X的m阶原点矩 μ m=E(Xm), m=1,2, ? ,k 令 μm (?1,?2,?,?k) = Am (m=1,2, ? ,k)， 并解该方程组，得到： 步骤二 它们分别作为?1,?2 ,?,?k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值. ∵ X1,X2 ,? ,Xn是独立同分布的， ∴ X1m,X2m,? ,Xnm也是独立同分布的. 原理解释 于是: E(Xim)=E(Xm)= μm (i=1,2,…,n) 根据大数定律,样本原点矩Am作为 X1m,X2m,? ,Xnm的算术平均值依概率收敛到均值μm=E(Xm)，即: 解: 令： ，从中解得 此即为 的矩估计量. X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求 的矩估计量. 例2 设总体X的概率密度为 是未知参数, 其中 解: 由密度函数知 例3 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的矩估计量. 是均值为 的指数分布,故 E(X- )= D(X- )= 于是 E(X)= D(X)= E(X2)= 解得: 令： 即： 解： 解方程组: 例4 求某个总体X均值?,方差?2的矩估计量. 即: 于是得?和?2的矩估计量: 矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 . 矩估计法的缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用总体分布提供的信息 . 稍事休息 最大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先由德国数学家高斯在1821年提出的 , Gauss Fisher 但该方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一方法，并