7.2参数的区间估计.ppt

课件制作：应用数学系 概率统计课程组 概率论与数理统计 参数的区间估计 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), x1,x2,…,xn 是一组样本值 不同的样本值算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出未知参数的点估计外， 还希望根据所给的样本确定一个随机区间，使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 如引例中，若要找一个区间,使其包含? 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 称随机区间 为未知参数 ? 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5 的样本, 都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数 ? 的真值, 也可能不包含未知参数的真值, 包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 ? 的置信区间 ? 的置信上限 置信度 ? 的置信下限 若测得 一组样本值, 它可能包含 ? 的真值，也可能不包含? 的真值 当置信区间为 时 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 反复抽样得到的区间中有95%包含 ? 的真值. 算得 区间的长度为 ——— 达到最短 取 ? = 0.05 设 ? 是一个待估计的参数, ? 是一给定的数, ( 0 ? 1). 若能找到两个统计量 使得 则称随机区间 为参数 ? 的置信度为1 - ? 的置信区间, 为置信下限与置信上限, 分别称 1 - ? 称为置信水平或置信度. 置信区间的定义 ? 反映了估计的可靠程度, ? 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计的精度 ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠程度越高,但 这时, 往往增大, 因而估计的精度降低. 越小, 估计的精度越高. ? 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一 , 常 选最小的一个. 几点说明 通常, 增大样本容量可以提高精度. 在求参数的置信区间时, 一般先保证可靠性. 在保证可靠性的基础上, 再提高精度. 寻找一个样本的函数 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ). 例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 给定置信度 1 ? ? , 定出两个常数 a , b ,使得 ( 引例中 由 解出 得置信区间 引例中, (一) 一个正态总体X ~N ( ? ?? 2)的情形 置信区间常用公式 (1) 方差? 2已知, ? 的置信区间 推导 由 选取枢轴量 由 确定 解 得 ? 的置信度为 的置信区间为 (2) 方差? 2未知 , ? 的置信区间 由 确定 故 ? 的置信区间为 推导 选取枢轴量 当方差未知，且n30， ? 的置信度为1-? 的置信区间为 问题：若X的分布类型未知，如何估计 ?=E(X)？ 取 n30 ，此时 . 当方差已知， ? 的置信度 为1-? 的置信区间为 当方差未知，? 的置信度 为1-? 的置信区间为 思考题(2003年数学一考研试题填空题) 已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 ( cm)，则 ? 的置信度为0.95的置信区间是__________ 。 (注：标准正态分布函数值 ?(1.96)=0.975，?(1.645)=0.95) (3) 当 ? 已知时, 方差? 2 的 置信区间 取枢轴量 ， 得 ? 2 的置信度为 置信区间为 由概率 (4) 当 ? 未知时, 方差? 2 的置信区间 选取 得 ? 2 的置信区间为 ? ? 则由 例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从正态分 布N( ??? 2), 现从某天的产品中随机抽取6件,测得 直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 (1) 若? 2=0.06, 求 ? 的置信度为95%的 置信区间; (2) 若? 2未知,求 ? 的置信度为95%的置信区间; (3) 求方差? 2的置信度为95%的置信区间. 解 (1) 即 由给定数据算得 由公式 (1) 得 ? 的置信区间为 (2) 取 查表得 由给定数据算得 由公式 (4) 得 ? 的置信区间为 (3) 选取枢轴量 查表得 由公式 (2) 得 ? 的置信区间为 为取自总体 N ( ?1? ?