7.2向量的坐标表示.ppt

* §7.2 向量的坐标表示 一 空间直角坐标系 二 向量在轴上的投影 三 向量的坐标表示 一 空间直角坐标系 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手法则。 即以右手握住 轴， 当 轴 右手的四个手指从正向 轴时， 角度转向正向 以 轴的正 拇指的指向就是 向。 大 Ⅶ Ⅵ Ⅲ Ⅱ x y z 0 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅳ Ⅴ Ⅷ 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 轴上的点 轴上的点 轴上的点 面上的点 面上的点 面上的点 坐标原点 二 向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴 是轴 上的有向线段。 空间两向量的夹角： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角。 两非零向量 与 的夹角 空间一点在轴上的投影： 过点 作轴 的垂直平面， 即为点 在轴 上的 交点 投影。 空间一向量在轴上的投影： 记为 定理1 向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角 的余弦， 即 投影， 设向量的起点 和终点 在轴 上的投影分别为 那么轴 上的有向线段 的值， 轴 称为向量在 上的 定理2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和， 即 1 向量的坐标表示 三 向量的坐标 以 分别表示沿 轴正向的单位向量。 设向量 则 所以 （向量的坐标分解式） 的向径。 称为点 分别称向量 为 在三个坐标轴上的分向量， 称 为向量 的坐标。 向量 又可以表示为 （向量的坐标表达式） 起点固定在原点，终点在点 的向量 注：（1） （2） （3） 2 向量的模与方向余弦的坐标表示 设向量 则 所以 称非零向量 的正向的夹角为方向角. 与三条坐标轴 由投影定理1有 同理 称非零向量 的方向角的余弦为 的方向余弦。 易见： 3 向量的加、减、数乘运算的坐标表示 设 所以 同理 则 4 空间两点间的距离 设 为空间两点， 则 所以 解 所求点为 例1 设 在 轴上，它到 到点 的距离的两倍，求点 的坐标. 的距离为 因为 在 轴上， 设 点坐标为 解 例2 求向量 的方向余弦。 的方向余弦为： 例3 设有向量 已知 它与 轴和 轴的夹角分别为 和 如果 的坐标为 求 的坐标。 解 设向量 的方向角为 则 因此 所以 的坐标是 的坐标加上 的坐标，即是 例4 设 和 为两已知点， 直线上的点 分有向线段 为两部分 使它们的值的比等于某数 即 而在 解 ，求分点 的坐标。 设 ， 则 由题设有 即有 所以分点 的坐标为 为有向线段 的定比分点。 为中点时， 特别 注：