7.3直线与平面的关系.ppt

2011届高数补习班课件 单班姓名：杨阳 通信11C4，学号：112231434 例2 求两平行平面Y1:2x+y+2z-9=0和Y2:4x+2y+4z-15=0的距离。解：求平面的距离，简单而言就也是求点到平面的距离。 在平面Y1上找一点M（4，1，0）则到平面Y2的距离为：d2=|AX0+By0+Cz0+D|2/A2+B2+C2代入得=|4*4+2*1-15|/4*4+2*2+4*4 d2=32/36 =1/4 所以d=1/2即y1到y2的距离是1/2. 四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角. 两直线的夹角的余弦公式 两个结论： 1.若直线 L1与直线 L2平行，则有 2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有 例题 四.直线与平面的夹角 定义直线与平面的夹角 设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ. π Ax+By+Cz+D=0 两个结论： 1.若直线 L与平面π平行，则n⊥s，于是 2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是 求直线与平面交点 例题 已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L 解 令直线方程 五.综合例题 五.例题 续上 3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中 4.证明两条直线 L1,L2相互垂直.其中 * * 二、点到平面的距离 问题： 和平面外一点P0(x0,y0,z0)， 求点P0到该平面的距离d. 已知平面 如下图， P0 在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)， P1 则d就等于向量 在平面的法向量n={A,B,C}上投 影的绝对值， n N 即 θ 而 因此 即 这就是空间一点P0到平面的距离公式。 例1 求点P（-1,-2,1)到平面 的距离。 解： 三、两平面的夹角 定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角θ， 如右图所示。 π1 π2 θ n1 n2 θ 设两平面π1，π2的方程分别为： 于是两平面的法向量分别为： 故可得 两个结论： 练习 求两平面x+y+2z+3=0和x-2y-z+1=0的夹角 （夹角为60度） 例3 设平面过点M1（1,1,1)，M2（0,1,-1)， 且垂 直于平面 求此平面方程。 解：用待定系数法解决。 例4 求过点（1，-2，1），且与两平面x-2y+z-3=0和x+y-z+2=0垂直的平面方程。 s1={m1,n1,p1} s2={m2,n2,p2} L1 L2 φ 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为： 两直线平行图示 π 两直线垂直图示 图示 已知直线 解 由所给方程知 s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}， 代入夹角公式可得 求两直线的夹角. n={A,B,C} π φ θ s={m,n,p} L 直线与平面的夹角（图示） 这是平面π与直线L的交角 这是直线L与其在平面π上投影的交角 四.直线与平面的夹角 夹角公式： 已知直线L的方向向量为（m, n, p） 平面π的法向量为（A，B，C），则有 θ φ n={A,B,C} s={m,n,p n={A,B,C} π s={m,n,p} L // π图示 L： s={m,n,p} πAx+By+Cz+D=0 n={A,B,C} π s={m,n,p} L： π ：Ax+By+Cz+D=0 平行 练习 思考 讨论 确定下面直线与平面的位置关系： （1）4x-2y-2z=3与 （2）3x-2y+7z=8与 （3）x+y+z=3与 直线在平面上 垂直 n={A,B,C} π π ：Ax+By+Cz+D=0 L： s={m,n,p} M(x,y,z) 图示 怎样才能求出交点M？ 求其交点. 得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1） 代入平面π方程， 得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t=-5,即t=-1 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点 解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得. L 解 （方法一） (1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量 n平行于直线方向向量s，即 n P Q s n={2,0,-1},P(0,-1,1), 得平面方程 2x-z+1=0. (2) 求直线与平面的交点，解方程组 y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0 即得 Q（1，-2，3） (3)