7.4平面与直线方程.ppt

CH1_ §7.4 平面与直线方程 一 平面方程的各种形式 二 直线方程的各种形式 三 平面直线间的夹角及相互关系 一 平面方程的各种形式 二 直线方程的各种形式 三 平面直线间的夹角及相互关系 * 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量． 已知平面的法向量为 设平面上的任一点为 必有 1 平面的点法式方程 且过点 平面的点法式方程 解 取 所求平面方程为 化简得 例1 求过三点 和 的平面方程. 由平面的点法式方程 2 平面的一般方程 法向量 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 坐标面； 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 例2 求过点 ，且垂直于平面 和 的平面方程. 设平面为 所求平面方程为 解 例3 设平面过原点及点 且与平面 垂直，求此平面方程。 由平面过点 知 设平面为 将三点坐标代入得 解 例4 设平面与 三轴分别交于 （其中 求此平面方程. 代入所设方程得 平面的截距式方程 轴上截距 轴上截距 轴上截距 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 解 例5 求平行于平面 坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程. 而与三个 所求平面方程为 则据题意有 解 例6 设 是平面 外一点，求 到平面的距离. 空间直线可看成不平行两平面的交线． 1 空间直线的一般方程 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量． 2 空间直线的对称式方程 设直线过点 方向向量为 为直线上任意一点 直线的对称式方程 （点向式） （标准式） 直线的一组方向数 // ，则 令 例7 求过两点 的直线方程。 解 所求直线的方向向量为 所求直线方程为 3 空间直线的参数方程 ，则有 例8 将直线 解 化为对称式与参数式方程。 直线的方向向量为 取 代入直线方程得 解得 因此得到直线上一点 直线的对称式方程为 参数方程为 解 所以交点为 取 所求直线方程为 例9 一直线过点 且和 轴垂直相交， 求其方程. 因为直线和 轴垂直相交, 定义 （取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 1 两平面的夹角 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 特别 与 重合 ^ 直线 直线 两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（取锐角）. 两直线的夹角公式 2 两直线的夹角 设 是直线 与直线 的夹角 ,则 ^ 两直线的位置关系： //