7.4空间曲面与曲线.ppt

* * * * 运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. 第四节 一、几种常见的曲面及其方程 二、二次曲面 三、曲线 曲面与曲线 第七章 由两点间距离公式 1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。 特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为 定值为R， 定点 表示上(下)球面 . 定点叫球心，定值叫半径。 例2. 研究方程 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 抛物柱面, 椭圆柱面. 经过z 轴的平面. 以上的柱面母线都平行于Z轴 C 叫做准线, l 叫做母线. 圆柱面 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 一条平面曲线 3、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 二、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) 2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: (2) 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 图形 4. 椭圆锥面 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . ① 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 2. 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为: S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程. (2) 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程 2. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度? 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中?,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t =