7.6空间向量及其运算.ppt

(了解空间向量的概念/掌握空间向量的线性运算/掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直) 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． (1)空间的一个 就是一个向量． (2)向量一般用有向线段表示．同向等长的有向线段表示 的向量． (3)空间的两个向量可用 的两条有向线段来表示． 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如 下： ＝a＋b； ． 3．运算律：(1)加法交换律：a＋b＝ . (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝ ． (3)数乘分配律：λ(a＋b)＝ . 4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 . 5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 . 6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 . 7．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉；且规定 0≤〈a，b〉≤π，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝ ，则称 a与b ，记作：a⊥b. 8．向量的模：设 ＝a，则有向线段 的 叫做向量a的长度或模， 记作：|a|. 9．向量的数量积：已知向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的 ， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 10．空间向量数量积的性质 (1)a·e＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)|a|2＝a·a. 11．空间向量数量积运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)＝ ；(2)a·b＝ (交换律)； (3)a·(b＋c)＝ (分配律)． 1．已知向量a∥平面β，向量a所在直线为a，则(　　) A．a∥β B．a?β C．a交β于一点 D．a∥β或a?β 答案：D 2．如图，在四面体P－ABC中，G为△ABC的重心，且 ， 则 ＝________.(用a，b，c表示) 答案： (a＋b＋c) 3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)．若(a＋b)⊥c， 则x＝________. 解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)，(a＋b)·c＝0， ∴－2－x＋2(3＋x)＝0，从而x＝－4. 答案：－4 4．如图，在四面体O－ABC中， ＝a， ＝b， ＝c，D为BC的中点，E为 AD的中点，则 ＝________.(用a，b，c表示) 解析： 答案： 计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一问题．利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的优势． 【例1】 已知在一个60°的二面角的棱上，如右图，有两 个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个 面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm， BD＝8 cm则CD的长为______． 变式1.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量