7第七次课n维向量向量组的线性相关性向量组线性相关性的判定.ppt

第三章 向量组的线性相关性 §3.1 n维向量 §3.2 向量组的线性相关性 §3.3 向量组线性相关性的判定 §3.4 向量组的秩 第七次课 §3.2 向量组的线性相关性 §3.1 n维向量 了解n维向量的概念 理解向量组的线性组合、线性相关（无关）的概念 掌握向量组相关性的有关性质及判定定理 教学内容 教学目标及基本要求 §3.3 向量组线性相关性的判定 向量组的线性相关性 重 点 难 点 向量组的线性相关性 §3.1 N维向量 一、基本概念及运算 Vector 1、def： 由n个数组成的有序数组 或 ，称为n维向量。 列向量(列矩阵) ，记作 行向量(行矩阵) ，记作 实向量 复向量 全为0 零向量 至少存在一个非零元素 非零向量 2、向量组：若干个维数相同的行向量（列向量） 所组成的集合 3、矩阵与向量的内在联系 列向量组 行向量组 二、n维向量的线性运算及其运算律 1、同型向量：维数相同的行（列）向量 2、向量相等： 3、数乘： 4、加（减）法： 5、运算律：略，见教材 设 求1） 例1 2） §3.2 - §3.3向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 (P72定义3.2.1) 则 故判断向量组的线性组合（表示）可转化为判断 其所对应的非齐次线性方程组是否有解。 无解 有解 存在唯一解 有无穷多解 线性方程组的向量形式 当方程个数=未知量个数时,也可用Cramer法则来判断 结论1：任一向量都能被基本单位向量组 线性表示 “非不唯” 均可由n维基本向量组表示为α=a1e1+a2e2+…+anen. 例1 线性表示（表出） 复习 无解 有解 存在唯一解 有无穷多解 二、向量组的线性相关性 AX=0的向量表示形式 则,当 不全为0时 （ 存在非零解） 称 线性相关 当 时 （ 只有零解） 称 线性无关 (P73定义3.2.2) 2、定理1： 只有零解 ( 线性无关) 存在非零解 ( 线性相关) 结论：基本单位向量组 必线性无关。 (P78定理3.3.2) (P74例3.2.1) 例1 例2 (P75定理3.2.1) 例1 (P76例3.2.4) (P76定理3.2.2) 简单结论： (1)： (2)： 相关 对应分量成比例。 (3)：含零向量的向量组一定线性相关。 (4)：相关组加个仍相关。 (5)：无关组减个仍无关。 (6)：无关组增维仍无关。 (7)：相关组降维仍相关。 (P73) (P79推论3.3.4) 三、向量组等价 (1)：反身性 (2)：对称性 (3)：传递性 2、性质 (P79定义3.3.1) 定理3.3.4 （P79） 推论3.3.5 （P80） 推论3.3.6 （P80） 等价无关组所含向量的个数相等 小 结 线性表示（表出） 无解 有解 存在唯一解 有无穷多解