8-1向量及其线性运算.ppt

例1. 求证以 * 返回 第八章 IV VI V VII 0 x y VIII II III I z 一、向量概念 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 第一节 向量及其线性运算 ⑴向量： 既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。 ⑵向量表示： 模长为1的向量. 模长为0 的向量. | | ⑶向量的模： 向量的大小. 或 或 或 1、概念 ⑷单位向量： ⑸零向量 ⑹自由向量： 不考虑起点位置的向量. 起点为原点的向量. ⑺向径： 2、两非零向量的关系 ⑴相等： 大小相等且方向相同的向量. ⑵平行或共线： 方向相同或相反的两个非零向量. ⑶垂直： 方向成90°夹角的两个非零向量. 注意： 由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。 ⑷共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面. ⑵ 减法 1、向量的加减法 ⑴ 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 2、向量与数的乘法 ⑴ 定义： 规定: 因此 ⑵单位向量的表示 xoz平面 过空间一定点O，作三条相互垂直的数轴 1、坐标系的构成 卦限 三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分叫做一个卦限. 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 2、向量的坐标表示 ⑴加法 1、向量的加减法与数乘 ⑵减法 ⑶数乘 2、平行向量的坐标表示式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 1、向量的模与两点间的距离公式: 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 练习 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5),求与 解 2、方向角与方向余弦 ⑴空间两向量的夹角的概念: 类似地，可定义向量与一轴的夹角. 2、方向角与方向余弦 ⑴空间两向量的夹角的概念: 类似地，可定义向量与一轴的夹角. 非零向量与三坐标轴的正向间的夹角称为 称为向量的方向角, 显然 ⑵方向角 2、方向角与方向余弦 非零向量的三个方向角的余弦 称为向量的方向余弦. ⑶方向余弦 2、方向角与方向余弦 解 例 解 3、向量在轴上的投影 ⑴x轴与向量 的关系 ⑵向量在u轴上投影