8-7-1方向导数与梯度.ppt

一、方向导数的定义 二、梯度的概念 四、小结 4 、方向导数、偏导数与函数可微的关系 方向导数存在 偏导数存在 ? ? 可微 梯度在方向 l 上的投影. 思考题 思考题解答 练 习 题 3、已知场 方向导数是__________________. 场的梯度方向的 四、求 在点 处沿点的向径 的方向导数,问 的模? 具有什么关系时此方向导数等于梯度 练习题答案 等高线的画法 等高线的画法 * * * 第八章 第七节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 反之，如果 沿任意方向的方向导数都存在， 由定义，方向导数是函数 在某点处沿某一方向对 距离的变化率，故当 时，函数沿 方向是增加的；当 时，函数沿 方向是减少的。 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 等高线的画法 播放 例如, 梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量）