8.1向量及其线性运算.ppt

向量的模、方向角、投影 例8. 设点 A 位于第一卦限, 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 向量的模、方向角、投影 2. 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面, 即为点A在轴u上 的投影. 空间一向量在轴上的投影 轴u称为投影轴. 已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 那么轴u上的有向线段 的值, 称为向量在轴u上的 投影. 向量的模、方向角、投影 Projection 在轴u上的 向量 轴与向量的夹角的余弦： 向量 在轴u上的 投影 记为 投影性质1 投影等于向量的模乘以 投影有正、 注 负之分; 模只为正值. 向量的模、方向角、投影 （可推广到有限多个） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和. 投影性质2 投影性质3 小 结 向量的概念 向量的线性运算 （注意:与数量的区别与记法） (平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的方向) 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 (注意它与平面直角坐标系的区别) (点、坐标轴、坐标面、卦限) 小 结 向量在轴上的投影与投影性质. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量的模与方向角. (注意分向量与坐标的区别) 利用坐标作向量的线性运算. 思 考 1. 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解： 为边的平 思 考 解: 因 2. 设 求向量 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量. 在 y 轴上的分向量为 故在 x 轴上的投影为 作 业 P 12 4， 13， 15， 18 高等数学（下）8.1节 空间解析几何与向量代数 主 要 内 容 1 向量的概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标作向量的线性运算 5 向量的模、方向角、投影 向 量 的 概 念 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向 量 的 概 念 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 主 要 内 容 1 向量的概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标作向量的线性运算 5 向量的模、方向角、投影 向 量 的 计 算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 向 量 的 计 算 向 量 的 计 算 2. 向量的减法 三角不等式 向 量 的 计 算 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 向 量 的 计 算 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , 向 量 的 计 算 “ ” 则 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) a∥b 向 量 的 计 算 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 主 要 内 容 1 向量的概念 2 向量的线性运算 3 空间直角坐标系 4 利用坐标作向量的线性运算 5 向量的模、方向角、投影 空间直角坐标系 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ 空间直角坐标系 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M