8.1向量极其线性运算.ppt

(3) 向量的坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 例2. 已知两点 说明: 由 五、向量的模、方向角、投影 例1. 在 z 轴上求与两点 提示: * 空间一点在轴上的投影 3、向量在轴上的投影 设点 在u轴上的投影分别是 则在u轴上的有向线段 的值 称为 在u轴上的投影. 记为 空间一向量在轴上的投影 * ★ 向量投影的性质： 证 * 性质1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； * * 解 P13, 19 * 对角线的长为 * * 思考题 已知平行四边形ABCD的对角线 试用 表示平行四边形四边上对应的向量. * 思考题解答 * * §8.1 向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 * 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 一、向量概念 在数学上，用有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小， 有向线段的方向表示向量的方向. 记作 向量的模： 向量的大小. 或 | | 记作 如：向量 的模 模等于1的向量. 零向量： 模等于0的向量. 单位向量： 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 注：零向量的方向是任意的. * 向量的夹角： 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 向量 与 平行(共线)： 向量 与 垂直： ▲ 加法： 平行四边形法则 特殊地：若 ‖ ① 同向 三角形法则 1、向量的加减法 二、向量的线性运算 ②反向 * 向量的加法的运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 负向量： 与 大小相等但方向相反的向量叫做 的负向量. 记作 ▼ 减法 根据三角形两边之和大于第三边，可知： * 2、向量与数的乘法 * 数与向量的乘积满足的运算规律： （1）结合律： （2）分配律： * 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 解: 例1. 设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点, * 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. * 例3 化简 解 * 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 三、空间直角坐标系 （1）空间直角坐标系 * Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ （2）坐标面与卦限 在空间直角坐标系下, 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 有序数 称为向量 的坐标，记为 设 则 ☆ 平行向量对应坐标成比例. * 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 及实数 得 即 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: 1. 向量的模与两点间的距离公式 两点间的距离公式: 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 例2. 已知两点 和 解: 求 * 解 原结论成立. * 解 设P点坐标为 所求点为 2. 方向角与方向余弦 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 的方向角 (1) 方向角 方向余弦的性质: (2) 方向余弦 * 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 * 解 *