8.1椭圆及其标准方程.ppt

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程(1) 椭圆的标准方程(2) * * 王新敞 3.若将细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？ 问题的提出： 1.什么是圆？ 2.取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？ M F2 F1 用几何画板研究轨迹 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ (1)平面上----这是大前提 (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a (3)常数 2a 要大于焦距 2C 一、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(2a)（大于|F1F2|=2c）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 下面来求椭圆的标准方程. 怎样建立平面直角坐标系呢？ F1 F2 M 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0). 由定义知： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 y c x MF y c x MF + - = + + = ∵ ( ) ( ) a y c x y c x 2 2 2 2 2 = + - + + + ∴ 将方程移项后平方得： 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0). 将方程移项后平方并整理得： 两边再平方得： 由椭圆定义知： 两边同除以 得： 这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上. 如果椭圆的焦点在y轴上， 用类似的方法，可得出它的方程为： 它也是椭圆的标准方程. y x o F 1 F 2 M y o F 1 F 2 M x y x o F 1 F 2 M 它表示： (1)椭圆的焦点在x轴 (2)焦点是F1（-c，0）、 F2（c，0） (3)c2= a2 - b2 F1 F2 M 0 x y 它表示: (1)椭圆的焦点在y轴 (2)焦点是F1（0，-c）、F2（0，c） (3)c2= a2 - b2 F1 F2 M 0 x y (ab0) (ab0) 椭圆的标准方程的认识: 椭圆的标准方程: (1)焦点在x轴上 (2)焦点在y轴上 （1）椭圆标准方程的形式： 左边是两个分式的平方和，右边是1. （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2. （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值. （4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定. （5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定， 即只要知道三个参数a、b、c的值，就可以写出椭圆的标准方程. 因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法: （其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求a、b的值. 例1 .平面内有两个定点(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到这两个定点的距离的和是10,求点P的轨迹方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 所以所求的椭圆的标准方程为 ∵2a=10, 2c=8, ∴ a=5, c=4. 分析判断： ①和是常数；②常数大于两个定点之间的距离.故点的轨迹是椭圆.③焦点在x轴上, 过两个定点的直线是 x 轴，它的线段垂直平分线是 y 轴，从而保证方程是标准方程.④根据已知求出a、c，再推出a、b写出椭圆的标准方程. 例2 椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点 求椭圆的标准方程. 解：因为所求椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以所求椭圆的标准方程为 又 c=2 y x o F 1 F 2 M 例3.平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。 解： 这个轨迹是一个椭圆