8.1椭圆的标准方程.ppt

1、改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？ 2、繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎？ 1、改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？ 2、繩長能小於兩圖釘之間的距離嗎？ (2) 當2a =|F1F2|時，此時M點的軌跡為線段F1F2； (3) 當2a |F1F2|時，此時M點的軌跡不存在。 (1) 當2a|F1F2|時，此時M點的軌跡為橢圓； 於是，我們得到： 平面內動點M到兩定點F1與F2的距離的和等於常數的點的軌跡可分為 (其中 )： ? 探討建立平面直角坐標系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸) 取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖所示)。 設M(x, y)是橢圓上任意一點，橢圓的焦距2c(c0)，M與F1和F2的距離的和等於正常數2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標分別是(-c,0)、(c,0) 。 x F1 F2 M 0 y 由橢圓的定義得︰ 2、橢圓的標準方程的推導 得方程 移項，得 兩邊除以 ，得 由橢圓定義可知，2a2c，即ac，所以 两邊再平方，得 整理得 移項，得 設 ，得 兩邊平方 (1) 剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？ 這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1 (-c,0) 、F2(c,0) ，這裡 F1 F2 O x y M 如果橢圓的焦點在y軸上，焦點 是F1 (0,-c) 、F2(0,c) ，只要將方程(1)的x 、y互換，就可以得到它的方程，這時方程為 這個方程也是橢圓的標準方程。 總體印象︰對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式 (2) 焦點在y軸︰ (1) 焦點在x軸︰ 因此，橢圓有兩種標準方程： 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x 橢圓的標準方程的特點： 橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊 是1； (2) 橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2； (3) 兩種標準方程中a、b、c總是滿足 ab0和ac0 ； (4) 橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在 哪一個軸上。 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 分母哪個大，焦點就在哪個軸上 平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等 於常數（大於F1F2）的點的軌跡 標準方程 不 同 點 相 同 點 圖 形 焦點座標 定 義 a、b、c 的關係 焦點位置的判斷 ?再認識！ x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O 則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在 ； 練習 則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在 ； 則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在 ； 則a＝ ，b＝ ；c＝ ；焦點在 ； 兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓 上的一點P到焦點的距離之和等於10； (2) b=5，焦距為8 例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程： 兩個焦點的坐標分別是(- 4，0)、(4，0)，橢圓 上的一點P到焦點的距離之和等於10； (2) b=5，焦距為8 例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程： 例2 已知橢圓的焦點在 軸上， ，且經過點 求這個橢圓的標準方程。 例3 已知B、C是兩個定點，|BC|=6，且ΔABC的周長為 16，求頂點A的軌跡方程。 1、動點P到兩個定點F1(-4，0)、F2(4，0)的距離之和為 8，則P點的軌跡為 ( ) 練習 A、橢圓 B、線段F1F2 C、直線F1F2 D、不能確定 2、方程