8.2参数的最大似然估计.ppt

求置信区间的步骤: 1.明确问题, 2. 寻找待估参数的 3. 寻找一个待估参数θ 其分布为已知. 4.对于给定的置信水平 根据 的分布, 确定常数 作等价变形, 则区间 是求什么参数的置信区间? 置信度是多少? 即 一个良好的点估计 T . 和其估计量T的函数 使得 5.对 得到如下形式: 是θ的 置信区间. 已知分布 三、正态总体均值的区间估计 设总体 是来自 的样本. 已知, 求μ的置信区间 估计 （1） μ的点估计 对于给定的置信度 由 求出 记 1. 已知, 求μ的置信区间 由 求出 记 置信区间. 是μ的 * §8.2 最大似然估计 其中θ是待估参数 当一次抽样得观测值 得此观测值的概率为: 其分布为 设X是 取值为 的概率 与 有关, 与参数θ有关 时, 记为 为待估参数θ的函数, 称为似然函数. 若 在 处达到最大值, 则称 为参数 的 最大 似然估计值. 相应的估计量 称为θ 的最大似然估计量. 统称为θ的 最大似然估计. 离散型随机变量, 其中θ是待估参数, 设其密度函数为 当 是 记 为待估参数θ的函数, 称为似然函数. 它的大小反映了 落在 附近的概率的大小. 若 在 处达到最大值, 则称 为参数 的 最大 似然估计值. 相应的估计量 称为θ 的最大似然估计量. 统称为θ的 最大似然估计. 连续型随机变量时, 由于 是 的最大值点, 一般应满足条件: 从而满足条件 是离散型随机变量 是连续型随机变量 离散型 连续型 求最大似然估计量 1.写出似然函数 X是离散型随机变量 X是连续型随机变量 当只有一个待估参数θ时， 2.写出似然方程 或 3.求解似然方程 得到驻点， 并判断驻点是否为 最大值点. 的步骤: 几种常见分布的 最大似然估计量 1.0—1分布 设总体 为待估参数. 可统一表示为 设一抽样得观测值为 为似然函数. 似然估计值, 为 的最大似然 为 的最大 为似然函数. 估计量. 2.泊松分布 设总体 即 λ为待估参数 设样本观测值为 为似然函数. 为似然函数. 为λ的最大似然估计值. 为λ的最大似然估计量. 3.指数分布 设总体 服从指数分布 λ为待估参数. 求参数λ的最大似然估计. 设样本观测值为 解 可以认为 为似然函数. 为似然函数. 为λ的最大似然估计值. 为λ的最大似然估计量. 或两个以上 未知参数 时， 似然函数为 当有两个 （离散型） 或 （连续型） 或两个以上 未知参数 时， 似然函数为 若此似然函数在 达到最大， 则称 为 的最大似然估计值， 称为θi的 最大似然估计量. 估计量 相应的 此时， 一般应满足条件: 或 当有两个 求最大似然 1.写出似然函数 X是离散型随机变量 X是连续型随机变量 当有两个或两个以上待估参数θ时， 2.写出似然方程组 3.求解似然方程组， 得到驻点， 并判断驻点是否 为最大值点. 估计量的步骤: 4.正态分布 设总体 令 μ和δ为待估参数, 求参数μ和 服从正态分布 的最大似然估计. 求参数μ和δ的最大似然估计. 设样本观测值为 解 似然函数为： 令 求参数μ和δ的最大似然估计. 似然函数为 为μ的最大似然估计值. 似然函数为 为μ的最大似然估计值. 为δ的最大似然估计值. 为μ的最大似然估计值. 为δ的最大似然估计值. μ的最大似然估计量为 δ的最大似然估计量为 最大似然估计量 不一定是无偏估计量 令 随机变量的矩 1.原点矩 则称 对于自然数 如果 为随机变量 的 阶原点矩. 设X是随机变量， 存在， 1阶原点矩就是 当 时, 2阶原点矩是 当 时, 2.中心矩 称 对于自然数 如果 为随机变量 的 阶中心矩. 设X是随机变量， 则 存在， 也存在. 当 时, 2阶中心矩 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 设总体X， 是来自 的一个样本. 矩估计的基本思想是： 用相应的样本矩 去估计总体矩； 用相应的样本矩的函数 去估计总体矩的函数. 例 已知总体X 有密度函数 其它 其中θ是未知参数， 是来自X的一个 样本. 求θ的矩估计量 解 总体一阶原点矩 用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩， 令 解得 是θ的矩估计量. 例 总体X的分布未知， 但已知总体的期望 方差 都存在， 与 是 两个未知参数， 求 与 的矩估计量. 解 再用样本的一阶、 二阶原点矩 估计总体一