8.6 相空间和玻耳兹曼分布律.ppt

* 8.6 相空间和玻耳兹曼分布律 8.6.1 相空间和分布函数 8.6.2 玻耳兹曼分布律 *8.6.3 能量均分定理的证明 8.6.4 简谐振子的平均能量 8.6.1 相空间和分布函数 相空间： 分子的状态可以用分子的位置和速度（动量）作为独立变量来描述。 相空间体积元： 分子在任一时刻的运动状态，均可用相空间中的一个点来代表。 由位置和速度（动量）构成的空间 为描述分子同时按位置和按速度的分布，定义分子相空间分布函数： 或，分子的状态在相空间分布的概率密度。 f(r,v)：状态处于 (r, v) 附近的单位相空间体积内的分子数，占系统分子总数的百分比。 ：位置处于r~r+dr、速度处于v~v+dv的分子数，即状态处于相空间体积元d? 内的分子数。 N：系统的总分子数 归一化条件 ： 8.6.2 玻耳兹曼分布律 同时按位置和速度的分布？ 近独立粒子系统：位置和速度相互独立，按概率乘法法则，有 分子的能量： 由归一化条件 ，得 平衡态系统中分子的相空间分布函数： ? 玻耳兹曼分布律 体现统计物理学基本思想：把宏观量看成相应微观量的统计平均值 玻耳兹曼分布律是气体动理论的基础，适用于理想气体，也可用于实际气体、液体和固体等分子之间相互作用力不是很强的经典的热力学系统。 物理量 W(r, v) 在温度为 T 的平衡态下的统计平均值： *8.6.3 能量均分定理的证明 分子在各个自由度上的动能，可以写成相应的平方项。 例如，刚性双原子分子的能量： 相空间体积元： 对各个能量平方项求统计平均，如果统计平均值都等于kT/2，就证明了能量均分定理。 以转动动能 为例，计算平均值。 类似地，对其他平方项求平均，结果也都等于kT/2。 能量均分定理的一般表述：在温度为T的平衡态系统中，分子能量表达式中每一个平方项对应的平均能量都等于kT/2。 分子中原子振动可看成简谐振动，一个振动自由度能量包括两个平方项： 振动自由度： 动能 u、?：相对运动的速度、位移 ，势能 ?、k：等效的质量、劲度系数 一个振动自由度对应的平均能量： 分子平均能量： 自由度 ： t：平动；r：转动；s：振动 固体晶格点阵上原子沿三个互相垂直的方向作简谐振动，振动自由度s=3，其他自由度为零，原子振动的平均能量为3kT。 在温度为 T 的平衡态下，?（mole）固体的内能： 8.6.4 简谐振子的平均能量 简谐振子：作简谐振动的系统 按照经典概念，简谐振子的能量连续变化，振子的平均能量 。 1. 简谐振子的能级 在12.6.2节将会看到，频率为? 的一维简谐振子的能级： 普朗克常量： 实际上，简谐振子的能量是量子化的。 *