8.9二重积分的概念与性质.ppt

第一讲 二重积分的概念与性质 一、实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 小 结 内容提要 二重积分的概念与性质 教学要求 1. 理解二重积分的意义与性质； 2. 掌握二重积分的概念与性质。 平顶柱体体积=底面积×高 曲顶为平顶. 求曲顶柱体的体积 V =？ １．曲顶柱体的体积 曲顶柱体: 平面上的有界闭区域D为底， 以 侧面是以D的边界曲线为准线,母 线平行 轴的柱面所围成的图形. 以连续曲面 为顶， 以连续曲面 为顶， 例如 曲顶柱体体积 V 求法如下： （1）分割: 分别以这些 小区域的边界曲 线为准线， D D (2)求每个小曲顶柱体的体积近似值： , ) , ( 为高 以 i i f h x (3)求近似和： （4）取极限： ２．求平面薄片的质量 将区域 D任意 分成若 干 个小区域，（如右图） 求法步骤如下： （1）分割： 且表示该区域的面积。 （2）求近似： （3）求和： 将求得的 n 个小薄片质量相加， 便得到整个薄片质量 M 的近似值： （4）求极限： 将区域 D 无限细分， 和式的极限就是薄片的质量 抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的 相同点，给予定义如下： 定义： 如果当各 小区域直径最大值 此和式的极限存在， 则称此 极限值为函数 面积微元 积分变量 积分区域 被积函数 积分和式 二重积分中各种符号的称呼： 由二重积分定义，可以得出： 曲顶柱体的体积 V 平面薄片的质量 M 二重积分号 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的 体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，如右图。 故二重积分（在直角坐标系下）可写为 D 即面微积元为 在二重积分的定义中，对区域 D 的划分是任意的， 因此，可对区域 D 进行特殊 划分， 这样面积微元 可以 记作 ，如图 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 常数可以提到积分号之外。 性质３ (对区域具有可加性) 性质４ （如图1） 图1 图2 性质５ 若在D上 则有 性质６ （二重积分估值不等式） 特殊地 所以 性质７ （二重积分中值定理） 性质７的几何意义是： 解 故 解 练习 解 故 * * * * 有一质量非均匀分布的平面薄片，占有面上的闭区域 ， 在点处的面密度为，且在上连续， 求平面薄片的质量 设是有界闭区域上的有界函数， 将闭区域任意分成 个小闭区域，，，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积， 在每个小区域上任取一点，作乘积 ， 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 设函数在闭区域 上连续， 为区域 的面积，则在 上至少存在一点使得 不作计算，估计 的值， 其中是矩形区域： . 在上， 当x=0,y=0时，取最小值1 由性质6知 区域D的面积 在上， 当x=1,y=2时，取最大值4 区域面积, 在上的最大值 的最小值 例1 估计的值， 其中D： . 例2 比较二重积分与的大小，其中积分区域是三角形区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0) 当点时, 从而 , 由性质5可知. 设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值， 为D的面积，则