81向量及其线性运算.ppt

例4: 在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)及 B(3, 5, -2)等距离的点. 解: 设该点为 解得 故所求点为 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 提示: (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 2. 方向角与方向余弦 1) 设有两非零向量 任取空间一点 O, 称 ? =∠AOB (0 ≤ ? ≤ ? ) 为向量 的夹角。 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角?, ?, ? 为其方向角。 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 方向余弦的性质: 例5. 已知两点 和 解: 计算向量 的模 、方向余弦和方向角。 解: 已知: 求点 A 的坐标 . 则: 因点 A 在第一卦限, 故 于是 故点 A 的坐标为: 例6. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹角依次为： 3. 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影: 设: 则: 或记作: 过点M作轴 u的垂直平面, 交点M’ 即为点M在轴 u上的投影。 设 , 则数 λ 称为向量 在轴u上的投影, 记作 或 。 (即 ), 性质1 其中 为向量 与 轴的夹角; (即 ); 性质2 (即 ). 性质3 例7. 设立方体的一条对角线为 OM, 一条棱为 OA, 且 , 求 OA 在 OM 方向上的投影Prj . 解: 记: 则: 于是: Prj 作业 P12-13 1, 3, 5, 12, 14, 17 * * 数量关系 — 第八章 第一部分 向量代数(1-2节) 第二部分 空间解析几何(3-6节) 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八章 向量的模 :向量的大小, 一、向量概念 1. 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量(又称矢量). 2. 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 3. 自由向量: 与起点无关的向量. 4. 单位向量: 模为 1 的向量, 5. 零向量: 模为 0 的向量, 表示法: 有向线段 M1M2, 或 a, (我们的研究对象) 规定: 零向量与任何向量平行; 6. 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作: a＝b ; 7. 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作: a∥b ; 8. 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 9. 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线. 10. 若 k(≥3) 个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面. 记作: －a ; 二、向量的线性运算 1. 向量的加法: 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律: 交换律: 结合律: 三角形法则可推广到多个向量相加. 2. 向量的减法: 三角不等式: 3. 向量与数的乘法: 规定: ? 是一个数, ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作: 总之: 运算律: 结合律: 分配律: 因此: 定理1: 设 a 为非零向量, 则: (? 为唯一实数) 证: “ ” : 再证数 ? 的唯一性: 则 a∥b 设 a∥b, 取 ?＝± a , b 同向时取正号, 反向时取负号, 则 b 与 ? a 同向, 且: 设又有 b＝? a , “