8概率统计第二章第二和三节.ppt

经 济 数 学 （三）泊松分布 泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X服从泊松分布. 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 地震 火山爆发 特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 例4 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布．为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解 由附录的泊松分布表知 只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销． （4 ）泊松定理 设随机变量X服从二项分布，其分布律为 　　　　　　　　　　　　，k=0,1,2,…,n. 又设np= ,( 是常数,即p与n有关)，则有 二项分布与泊松分布有以下的关系. 该定理于1837年由法国数学家泊松引入！ 二项分布 泊松分布 可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！ 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事件（p很小）称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等 例５ 某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01，设各人患病与否相互独立.现随机抽取200人，求其中至少4人患这种病的概率. 解　以X记200人中患此病的人数， 所求概率为 查泊松分布表（附表1） 则X~B(200，0.01). 利用泊松定理， 例6 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得 合理配备维修工人问题 由泊松定理得 故有 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8 例8（课堂讨论） 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法 发生故障时不能及时维修”, 而不能及时维修的概率为 则知80台中发生故障 故有 即有 按第二种方法 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为 在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数x左边的概率 第三节 随机变量的分布函数 定义 分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴． 分布函数具有以下基本性质： 0. 1. 2. 3. 证明 即任一分布函数处处右连续. 例1 -1 0 1 ? ? ? 由概率的有限可加性 分布函数为： 解 1 －1 1 Ｏ x F(x) 例2 在区间[1,5]上任意掷一个质点,用X表示这个质点与原点的距离,则X是一个随机变量.如果这个质点落在[1,5]上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求X的分布函数. 解 注意！ 有如下关系：设 重要公式 (3)设 X 是离散型随机变量，其分布律为 则 解：分析 思考 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示. 当 0.15 X1000× 0.1时，报童赔钱 故{报童赔钱} {X 666} {报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本} * * 经 济 数 学 * *