8连续型密度函数连续型随机变量分布.ppt

概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 注 意 说 明 (1)由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的概率是指是它在某一区间上取值的概率（而不是在某些点的概率）． 例 1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 例 2 例 3 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以 例 3（续） 检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验． 设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元 件数， 二、一些常用的连续型随机变量 说 明 ⑴ 类似地，我们可以定义 例 4 2)指 数 分 布 如果随机变量 X 的密度函数为 例 4 例 4（续） 3)正 态 分 布 标准正态分布 正态分布密度函数的图形性质 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布的重要性 对应的标准正态分布分布函数为： 例 5 三、一般正态分布的计算 §4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 x f (x) 0 ? — 位置参数 x f (x) 0 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 ? — 形状参数 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明： ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． (3)正态分布可以作为许多分布的近似分布． 退 出 前一页 后一页 目 录 §4连续型随机变量的概率密度 二：正态分布的计算 退 出 前一页 后一页 目 录 -1 0 1 （1）标准正态分布的计算： x 0 x -x 退 出 前一页 后一页 目 录 将 求出来。 （为什么？） ( ) { } x X P x x ￡ = 3 F 我们可直接查表求出 对于 0 ，我们可由公式 如果 0 x ) ( x F 标准正态分布的计算（续） 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 证明： 证明思路：只需要证明 Y 的分布函数 FY(y) 或密度函数fY(y) 恰好等于标准正态分布的分布函数 密度函数 。 退 出 前一页 后一页 目 录 注： 例6 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 * * 　　　　 2 　连续型随机变量 　　　　 退 出 前一页 后一页 目 录 一、连续型随机变量的概念与性质 1) 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存 在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度. 退 出 前一页 后一页 目 录 x f ( x) x0 F ( x0 ) 分布函数与密度函数几何意义 密度函数f ( x) :曲边梯形的高. 分布函数F ( x0 ):表示以区间(-∞, x0)为底边, 以f ( x) 为高的曲边梯形的面积 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： f (x) 0 x 1 f (x) x 0 退 出 前一页 后一页 目 录 前两个条件是概率密度的充分必要条件 即 退 出 前一页 后一页 目 录 50 　连续型随机变量的分布函数 在实数集Ｒ上处处连续 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 (2) (3) 即某区间是否包括端点以及包括多少个端点，对于一个连续型随机变量在该区间取值的概率没有影响．（为什么？对于离散型随机变量呢？） 解：⑴ 由密度函数的性质 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 退 出 前一页 后一页 目 录 1 = 退 出 前一页 后一页 目 录 为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换} §4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 退 出 前一页 后一页 目 录 解： §4连续型随机变量的概率密度 第二章 随机变量及其分布 故所求概率为 退 出 前一页 后一页 目 录 思考题：前面说过，连续型