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概率与统计第八讲 随机变量函数的分布 主讲教师: 于红香 e-mail:fishr2001@163.com 阶段小结. 概率论与数理统计 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 在比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等. 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 故 如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般地，若X是离散型 r.v ，X 的分布律为 X ～ 则 Y=g(X) ～ 如： X ～ 则 Y=X2 的分布律为： Y ～ 三、连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 其中， x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 . 定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意 x, 恒有 或恒有 ，则Y=g(X)是一 个连续型r.v，它的概率密度为 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 例3 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度. 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0 ，故当 y 0 时， . 解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ， 若 则 Y=X2 的概率密度为： 求导可得 若X～fX(x) ，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为 例：设随机变量X服从[0，2?]均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。 解: 已知随机变量X的概率密度为 求：Y=1-X2的概率密度 例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增. 证明 设 Y 的分布函数是 G(y) , 于是 对 y 1 , G (y) = 1; 对 y 0 , G (y) = 0; 由于 对0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ (y)) =F( (y))= y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见, Y 在[0,1]上服从的均匀分布. 阶段练习 一、填空： 1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若 ， 则P{Y≥1}= 2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为 fY(y)= 3.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2X4）=0.3，则P(X0)= 三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。 二. 一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率为第一台等于0.9, 第二台等于0.8, 第三台等于0.7,求在一小时内需要工人照管的机床台数的概率分布 四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间X(分)的分布函