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复变函数的积分习题课
一、重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
2
二、内容提要
有向曲线 复积分 积分存在的
条件及计算
积分的性质 柯西积分定理
柯西积分 复合闭路 原函数
公 式 定 理 的定义
调和函数和
高阶导数公式 共轭调和函数
3
1.有向曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)
曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作
为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带
有方向的曲线, 称为有向曲线.
如果A 到B作为曲线C的正向, y B
那么B到A 就是曲线C的负向,
记为C−. A
x
o
4
2.积分的定义
设函数 w f (z ) 定义在区域 D 内, C 为区域
D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线,
把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为
A z , z , , z , z , , z B ,
0 1 k −1 k n
y B
在每个弧段 zk −1zk C
zn−1
(k 1,2, ,n) ζk zk
上任意取一点ζ , ζ1 ζ2 z zk −1
k A z1 2
o x
5
n n
作和式 S ∑f (ζ ) ⋅(z −z − ) ∑f (ζ ) ⋅Δz ,
n k k k 1 k k
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