9.5空间向量及其运算⑷-两个向量的数量积.ppt

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 教学过程 一、几个概念 二、 课堂练习 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? 例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB 思考题：利用向量知识证明三垂线定理 * * 王新敞 空间向量的基本定理 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数对 x、y、z，使 A B D C O 思路：作 E 推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使 O A B C P P P 注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底 如： 1） 两个向量的夹角的定义 O A B 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 3）射影 B A A1 B1 根据以上定义正射影（简称射影）是一个向量！ 向量 在 方向上的射影的长度为 4)空间向量的数量积性质 注意： 　①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　②性质3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量　　 ，有： 5)空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律 A D F C B E 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。 n m g g m n ? l l 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0 n m g g m n ? l l 证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥? A B C O 例3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　 ，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如 果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。 解：由　　　，可知　　　　. 由　　　　 知　　　　　　 . 例4　已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　, 求对角线　　的长。 解： 1.已知线段　 、　在平面　 内，　　　，线段　　　 ，如果　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离. 解：∵ 2.已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于 　 ，点　　　分别是边　　　　的中点。 求证：　　　　　　　　。 证明：因为 所以 同理， 3.已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　 ，求证：　　　。 证明：∵ 4.如图，已知正方体　　　　　　　，　 和　 相交于 点　，连结　 ，求证：　　　。 a A O P * *