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——空間直角坐標系 向量的直角坐標運算 x y z O A(x,y,z) i j k 學習目標 1、掌握兩點間的距離公式和空間向量的夾角公式; 2、能利用向量法證明線線垂直和線面垂直問題; 3、能利用向量法求兩異面直線所成角。 1、距離公式 (1) 向量的長度(模)公式 設 ,則 在空間直角坐標系中,已知A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2),則 (2) 空間兩點間的距離公式 2、兩個的向量夾角公式 例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5) ,求: (1) 線段AB的中點坐標和長度; (2) 到A、B兩點距離相等的點P(x , y , z)的坐標 x , y , z滿足的條件。 例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、 D1 B1的中點,求證:EF⊥ DA1 例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、 CD的中點,求證:D1F⊥ 平面ADE 例4 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知 ,與BE1與DF1所成的角的余弦值。 F E A B A1 D C C1 B1 D1 1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、 D1B的中點,求證:EF⊥ DA1 A B A1 D C C1 B1 D1 1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 求證:DB1⊥ 平面ACD1 練習 B C C1 A1 B1 A M 2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90o, ∠BAC=30o , BC=1,AA1=√6,M是棱CC1的中點, 求證:A1B⊥AM 3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是DD1,DB中點,G在棱CD上,CD=4CG,H是C1G的中點, (1) 求證:EF⊥B1C ; 3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是DD1,DB中點,G在棱CD上,CD=4CG,H是C1G的中點, (2) 求EF與C1G所成的角的余弦; (3) 求FH的長。 (09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2,點E是正方形BCC1B1的中心,點F、G分別是棱 C1D1, AA1的中點.設點E1,G1分別是點 E,G在平面DCC1D1內的正投影 (2)證明:直線FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值. E F E1 G G1 (09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2,點E是正方形BCC1B1的中心,點F、G分別是棱 C1D1, AA1的中點.設點E1,G1分別是點 E,G在平面DCC1D1內的正投影 (2)證明:直線FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值. E F E1 G G1 課堂小結 1、基本知識: (1) 向量的長度公式與兩點間的距離公式; (2) 向量的夾角公式。 2、思想方法: 用向量坐標法計算或證明幾何問題 (1) 建立直角坐標系; (2) 把點、向量坐標化; (3) 對向量計算或證明。 * 例3答案 * 例3 * 例3 * 例3答案 * 例3 * 例3
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