9概率统计第二章第四节.ppt

2.4　连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量等价定义 均匀分布 指数分布 正态分布 经 济 数 学 １．连续型随机变量的概念 ２．三种重要的连续型随机变量 ３．小结 设统计量X属于某一区间内的值，取均匀分布的n个值: x1=a, x2, x3, x4,… ,xn=b,以这n个值为中点，划分出n个等长的小区间. X 即小矩形的面积为Ｘ取对应小区间内点的概率 x1=a P x2 x3 s1 s2 s3 sn ……. xn=b a、b之间折线下面积之和！ １．连续型随机变量的概念 画X的概率 直方图： (1) 定义的引出（样本频率直方图） 若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 而且： X a P ……. b 由此推出连续 型随机变量 的定义 　设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x)，满足条件 1. 2. 对于任意的 3. 则称X是连续型随机变量， 称为X的概率密度函数,简称概率密度. (2) 连续型随机变量的定义 概率密度函数的性质 1) 2) 1 这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件. 3) X落入区间[a,b]内的概率= 定义 注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 由此可得 这是因为 关于连续随机变量X的分布函数和概率密度函数的性质： 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度. 若x是 f(x)的连续点，则： =f(x) (３) 对 f(x)的进一步理解 密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. 1 问题１：f (a)是Ｘ=a的概率吗？ 事实上，若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. P{X=a}=0 而 {X=a} 并非不可能事件. 可见， 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B= 问题２：概率为零的事件一定是不可能事件吗？ 类似可知， 例1 设连续型随机变量X具有概率密度 满足连续型随机变量的两个最基本性质 均匀分布的意义 事实上，若X ～ U(a, b)，则对于满足 的c,d, 总有 均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。 如公交系统中乘客随机乘车的等车时间． 满足连续型随机变量的两个最基本性质 指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示 　　指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间. 　　有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似, 当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布. 　　在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等. 　　　　 例3 解： 各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 ，从而至少有一个已损坏的概率为　　 ． 满足连续型随机变量的两个最基本性质 正态概率密度函数的几何特征 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长