[考研数学]北京航天航空大学线性代数7-1(a).ppt

主要内容点播 一.向量空间的概念 二.子空间 三.向量空间的基与维数 六.作业 一.向量空间的概念 二.子空间 向量空间的基与维数 （7-1）2 说明 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　， 就说 是 的子空间． 实例 设 是由 维向量所组成的向量空间， 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. 四.向量的坐标, 基变换与坐标变换 书P250 将本小节中的“元素”改为“向量”即可 (一) 向量的坐标 定义 设V是数域K上的n维向量空间, 是V的一组基底, 对任意??V, 可由基底线性表出 则称有序数 为向量?在基底 下的坐标, 记作 定理3.1 设?1, ?2, …, ?n是向量空间V的一组基底, ? ??V, 则表达式 是唯一的(坐标的唯一性). 证明 设?在基底?1, ?2, …, ?n下有两种表达式 则 由?1, ?2, …, ?n线性无关, 得 例2 若?1, ?2, …, ?n是向量空间V的基底, 则 也是V中一组基底? 证明 只要证明?1, ? 2, …, ? n线性无关. ? 1, ? 2, …, ? n线性无关? k1 ? 1+k2 ? 2+…+kn ? n=0只有零解. 代入? 1, ? 2, …, ? n的表达式, 得 (k1a11+k2a21+…+knan1) ? 1+ (k1a12+k2a22+…+knan2) ? 2 +…+ (k1a1n+k2a2n+…+knann) ? n=0 由? 1, ? 2, …, ? n线性无关, 则 注 例2给出了用已知基底构造其它基的方法. 2. 基变换与坐标变换 问题：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐标之间的关系如何？ 此方程组只有零解?系数行列式不为零 ? 定义 设? 1, ? 2, …, ? n与?1, ?2, …, ?n是n维向量空间V的两组基, 并且 令 称P为由基底? 1, ?2 , …, ? n到?1, ?2, …, ?n的过渡矩阵, (1)称为基底变换公式. (? 1, ? 2, …, ? n)=(? 1, ? 2, …, ? n)P 利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成 设? 1, ? 2, …, ? n与? 1, ? 2, …, ? n是向量空间V的两组基底, 由? 1, ? 2, …, ? n到?1, ?2, …, ?n的过渡矩阵为P, 如果V中任意元素?在这两组基底下坐标分别为(x1, x2, …, xn)与(y1, y2, …, yn), 则 或 定理3.2 (? 1, ? 2, …, ? n)=(? 1, ? 2, …, ? n)P 基底变换公式. 坐标变换公式. 证明 设 ? =x1 ? 1+x2 ? 2+ …+xn ? n ? =y1 ? 1+y2 ? 2+ …+yn ? n 由 (? 1, ? 2, …, ? n)=(? 1, ? 2, …, ? n)P, 代入得 由坐标的唯一性, 得 由P可逆, 因此 例3 设n维向量空间中?1=(1, 0, …, 0), ?2=(0, 1, …, 0), …, ?n=(0, 0, …, 1)是一组基底(自然基)， e1 =(1, 0, …, 0)T , e2 =(1, 1, 0, …, 0)T , …, en =(1, 1, …, 1)T 也是一组基底. 求由基底?1, ?2, …, ?n到e1, e2, …, en的过渡矩阵及坐标间的关系. 解 则 为基底?1, ?2, …, ?n到e1, e2, …, en的过渡矩阵. 由 即 例4 在三维向量空间R3中求向量对两组基底 ?1=(1, 2, 1), ? 2=(2, 3, 3), ? 3=(3, 7, 1)与 ?1=(3, 1, 4)