§1向量的内积长度及正交性.ppt

§1 向量的内积、长度及正交性 主要内容： 一、向量内积的定义及其性质 二、向量的长度及其性质 三、正交向量组的定义及其性质 四、正交向量组的求解 五、正交矩阵的定义及其性质 六、正交变换的定义 §1 向量的内积、长度及正交性 定义:设有n维向量 令 [x,y]= x1 y 1+x2 y2+…+xn yn ]= xT y , [x,y]称为向量x与y的内积. §1 向量的内积、长度及正交性 例 §1 向量的内积、长度及正交性 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数): (ⅰ) [x,y]= [y,x]; (ⅱ) [λx,y]= λ[x,y]; (ⅲ)[x+y ,z]= [x, z]+ [y, z]; (ⅳ)当x=o,[x, x]=0;当x≠o,[x, x]0. §1 向量的内积、长度及正交性 定义:施瓦茨(Schwarz)不等式 [x, y]2≤ [x, x][y ,y]. 定义:令‖x‖ ‖x‖称为n维向量x的长度(或范数). 定义: 当‖x‖=1时,称x为单位向量. §1 向量的内积、长度及正交性 例 §1 向量的内积、长度及正交性 向量的长度具有下述性质: (ⅰ) 非负性 当x≠o时‖x‖0 ,当x=o时, ‖x‖=0; (ⅱ) 齐次性 ‖ λx‖= |λ| ‖x‖; (ⅲ)三角不等式 ‖x+y‖≤ ‖x‖+ ‖y‖ . §1 向量的内积、长度及正交性 定义:当x≠0, y≠0时, 称为n维向量x与y的夹角. 定义:当 [x,y]=0时,称向量x与y正交. §1 向量的内积、长度及正交性 例 §1 向量的内积、长度及正交性 说明:当x=o时,x与任何向量都正交. 定义:所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量. 定理 若n维向量a1 ,a2 ,…,ar是一组两两正交的非零向量,则a1 ,a2 ,…,ar线性无关. §1 向量的内积、长度及正交性 例 已知三维向量空间中两个向量 正交,试求一个非零向量a3 ,使a1 ,a2 ,a3两两正交. 解 设 记 §1 向量的内积、长度及正交性 §1 向量的内积、长度及正交性 定义:设n维向量e1 ,e2 ,…,er是向量空间V( V Rn )的一个基,如果e1 ,e2 ,…,er两两正交,且都是单位向量,则称e1 ,e2 ,…,er是V的一个规范正交基. §1 向量的内积、长度及正交性 定义: 设a1 ,a2 ,…,ar 是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两正交的单位向量e1 ,e2 ,…,er,使e1 ,e2 ,…,er与a1 ,a2 ,…,ar 等价.这样的问题称为把a1 ,a2 ,…,ar这个基规范正交化. §1 向量的内积、长度及正交性 容易验证b1 ,b2 ,…,br两两正交,且b1 ,b2 ,…,br与a1 ,a2 ,…,ar 等价. §1 向量的内积、长度及正交性 定义:从线性无关向量组a1 ,a2 ,…,ar导出正交向量组b1 ,b2 ,…,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 说明: (1)b1 ,b2 ,…,br与a1 ,a2 ,…,ar等价, (2)还满足对任何k(1≤k≤r) ,向量组b1 ,b2 ,…,bk与a1 ,a2 ,…,ak等价. §1 向量的内积、长度及正交性 §1 向量的内积、长度及正交性 §1 向量的内积、长度及正交性 §1 向量的内积、长度及正交性 定义:如果n阶矩阵A满足 ATA=E(即A-1=AT), 那么称为A正交矩阵,简称正交阵. 将ATA=E用列向量表示,即 §1 向量的内积、长度及正交性 §1 向量的内积、长度及正交性 说明: (1)方阵A为正交矩阵的充要条件是A 的列向量都是单位向量,且两两正交. (2)方阵A为正交矩阵的充要条件是A 的行向量都是单位向量,且两两正交. §1 向量的内积、长度及正交性 例 §1 向量的内积、长度及正交性 正交矩阵具有下列性质: (ⅰ) 若A为正交矩阵,则A-1=AT也是正交矩阵, 且| A| =1或(-1); (ⅱ) 若A 和B都为正交矩阵,则A 和B也是正交矩阵. §1 向量的内积、长度及正交性 定义:若P为正交矩阵,则线性变换y= Px称为正交变换. 说明: §1 向量的内积、长度及正交性 总结 1．将一组基