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§1 建立方程、定解条件 方程的导出 定解条件和定解问题 变分原理 分离变量法 1.方程的导出 4.分离变量法求解Laplace方程 (1) 矩形区域上Laplace方程的第一边值问题 (2) 圆形区域上Laplace方程的第一边值问题 (3) 圆形区域上热传导方程的混合问题 因此 是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件 (4)的解。 由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为： 代入边界条件(2)得： 故 上页 下页 返回 * * * 本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程） 以及泊松方程 的基本定解问题及解的性质。 (1.1) (1.2) (1) 引力位势 经计算可得： 直接计算可得： 还可进一步验证： (2) 静电场的电位势 应用高斯公式，上式可改写为： 由区域G的任意性得： 静电场方程 由于静电场是无旋场，因而存在电势u， 从而静电场的电势u应当满足泊松方程 如果静电场的某一区域里没有电荷，即ρ=0，则 静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程 (3) 稳定温度分布 2.定解条件和定解问题 (1) 第一边值问题（Dirichlet问题） (2) 第二边值问题（Neumann问题） (3) Dirichlet外问题 (4) Neumann外问题 注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求： 其它边界条件 (5) 第三类边界条件 (6) 等值面边界条件 （总流量边界条件） 3.变分原理 膜的平衡问题： 外力作功 － ＝ 总位能 应变能 即： (1) 问题2的解答： (3) (5) (4) 即 代入方程(1)得： 分离变量： 由此得 X，Y 满足得常微分方程： 由边界条件(2)知： 得固有值问题： 解之得： 通解为 其中Ak，Bk为任意常数。 因此 是满足方程(1)和边界条件(2)的解。 叠加所有的Uk ，即 代入边界条件(3)，得： 由傅里叶正弦展式的系数公式得 解得： (3) (4) 即： 由此得 R，Θ 满足得常微分方程： 由周期性条件(4)得: 固有值问题的讨论： 得固有值问题： (5) (6)