§2.2 离散型随机变量及其分布.ppt

* * 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量X的所有可能取值，而且还应知道X 取每个值的概率.为此我们有以下定义： 如果随机变量的取值是有限个或可数个(即能与自然数的集合一一对应），则称该变量为离散型随机变量。 §2.2离散型随机变量及其分布律 定义 设X是一个离散型随机变量，它可能取值为 并且取各个值的对应概率为 即 则称上式为离散型随机变量X的概率分布，又称分布律。 分布律也可以通过列表表示： 其中第一行表示随机变量所有可能的取值，第二行表示这些取值所对应的概率。 X P 且 则该数列可以定义为某离散型随机变量的分布律。 分布律的性质 非负性 规范性 反过来，假如有一列数 满足 例1 如右图所示，从中任取3个球。取到的白球数X是一个随机变量。 X可能取的值是0,1,2。取每个值的概率为 0.1 0.6 0.3 其分布律为 例2 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数分布列. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 于是 设 = {第 发命中}， ， 类似地，有 这就是求所需射击发数X的分布列. 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律.下一节，我们将介绍连续型随机变量。 称 服从参数为 的几何分布。 例3 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。 解:m=1时, m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,… P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并且在前m次试验中成功了m-1次} (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 p 1 注 其分布律可写成 常见的离散型随机变量的分布 凡试验只有两个可能的结果，常用 应用场合 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等. (2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布 二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273? 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 此时的 称为最可能成功次数 x P ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 ? ? x P ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 20 由图表可见 , 当 时， 分布取得最大值 0.22 ? 二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称 为最可能出现的次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称 当( n + 1) p ? 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 例4 独立射击5000次, 每次命中率为0.001, 例4 解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率. (2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)