§2.4随机变量函数的分布.ppt

§2.4 随机变量函数的分布 在实际问题中，不仅要研究随机变量，而且还要研究随机变量的函数，例如在分子物理学中已知分子的速度V是一个随机变量，这时分子的动能 就是一个随机变量函数.下面就研究如何根据随机变量的分布列（或联合分布列）或分布密度（联合密度）来求随机变量函数的分布列. 一、一维随机变量函数的分布 1．一维离散型随机变量函数的分布 设 g(x)是定义在随机变量ξ的一切可能取值A的集合上的函数，这样随机变量η，当ξ取值的集合上的函数，这样随机变量时，它的取值为y=g(a),称η为随机变量ξ的函数，记为η=g(ξ). 设ξ为离散型随机变量，则η=g(ξ)也为离散型随机变量。 若ξ的分布列为 ，i=1，2，3，…，现求η=f(ξ)的分布列。 若随机变量 取不同的值时 ，随机变量函数η=g(ξ)也取不同的值 ，ｉ=1，2，3，…，则η的分布列 . 例2.4.1 设ξ的分布列为求η=2ξ+1. 解：η的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同， 则η的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P ξ 1 3 5 7 9 11 P 2） 若 ξ取不同的 时，而函数的取值η中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到η的分布列.不妨设η的可能取值为 ，则 ，即为η的分布列. 例2.4.2 设 ξ的分布列为求η= 的分布列. 解：η的可能取值为0，1，4，9它们有相同的.则将它的所对应的概率相加得η的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P ξ 0 1 4 9 P 2．二维离散型随机变量函数的分布列 设( )是一个二维离散型变量， 是实变量x和y的单值函数，这时 仍是一个一维的离散型随机变量. 设 可能取值为： 令 则有 例2.4.2 设ξ和η是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和 的Poisson分布，求 的分布列. 解：由ξ与η的独立性可知 此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性.通常称为该分布具有可加性. 类似地可以证明二项分布也是一个具有可加性的分布，即若 ξ，η是两个独立的随机变量，且 , 则 . 例2.4.4 设ξ与η为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：求 的分布列. 解： = 二、连续型随机变量函数的分布 求离散型随机变量函数的分布是很简单的事.一般地，连续型随机变量的函数不一定连续型随机变量.下面我们主要讨论连续型随机变量还是连续型随机变量的情形. 1.一维连续型随机变量函数的分布 设已知ξ的分布函数 或概率密度函数 ，则随机变量函数 的分布函数可按如下方法求得： 先求η的分布函数， 其中 . 而 常常可用ξ得分布函数 来表达或用其概率密度函数 的积分表达： 再求η的密度函数，通过对η的分布函数 求导，求出η的密度函数. 这种求随机变量函数分布的方法被称为分布函数法. 例2.4.5 设随机变量ξ的密度函数为 ，求 的密度函数. 解: 先求η的分布函数 ， 对η的分布函数 求导，得到η的密度函数 注意到0x4,即8y16时， 故