§2数理统计中常用的抽样分布.ppt

注意:若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,…,Xn的独立性及同分布性，有 §2 数理统计中常用的抽样分布 §3 一个正态总体下的统计量的分布 * 总体、样本、样本观察值的关系 总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体 统计量 定义：设(X1,X2,…,Xn )是来自总体X的一个样本,f(X1,X2,…,Xn)是关于X1,X2,…,Xn的一个连续函数且f(X1,X2,…,Xn)中不含有任何未知参数,则称f(X1,X2,…,Xn)是样本(X1,X2,…,Xn )的一个统计量. 设(x1,x2,…,xn )是相应于样本(X1,X2,…,Xn )的样本值,则f(x1,x2,…,xn)称是f(X1,X2,…,Xn)的统计量值. 常用的统计量 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,则 证明 定理:设总体X的均值为μ,方差为σ2,(X1,X2,…,Xn)是X的一个样本,则有 定理:设总体X的均值为E(X)=μ,方差D(X)=σ2, (X1,X2,…,Xn)是X的一个样本,则有 证明 解 因为 §2.1 χ2分布 §2.1.1 χ2分布的概念 χ2分布的的密度函数的示意图 §2.1.2 χ2分布的构造 定理:设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,且Xi~N(0,1),则统计量 §2.1.3 χ2分布的性质 定理:设χ12 ~χ2(n1), χ22 ~ χ2(n2),且χ12与 χ22相互独立 ,则χ12 + χ22 ~ χ2(n1 + n2). 证明 由Γ分布的可加性即可证明. 定理:若χ2 ~ χ2(n), 则E(χ2)=n,D(χ2)=2n. 证明 因Xi~N(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1; D(Xi2)=E (Xi4)-[E(Xi2)]2=3-1=2, i=1,2,…,n 于是 §2.1.4 χ2分布的上分位点 对于??(0,1)给定,称满足条件: 的点χn2(?)为χn2分布的上?分位点. a ca2(n) §2.2 T分布 §2.2.1 T分布的概念 T分布的的密度函数的示意图 §2.2.2 T分布的构造 §2.2.3 T分布的性质 (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即 §2.2.4 T分布的上分位点 设T～t(n),对于??(0,1)给定,称满足条件: 的点tn(?)为t分布的上?分位点. ta(n) a 注: §2.3 F分布 §2.3.1 F分布的概念 F分布的的密度函数的示意图 (n1,n2)=(10,40) (n1,n2)=(11,3) O §2.3.2 F分布的构造 定理:设X ~ χ2(n1),Y ~ χ2(n2),且X,Y独立,则随机变量 §2.3.3 F分布的性质 定理： 证明:设F~F(n1,n2),则 得证! §2.3.4 F分布的上分位点 设F (n1,n2) ，对于给定的a,0a1, 称满足条件 的点F? (n1,n2)为F分布的上?分位点. O Fa(n1,n2) a 解 因此有 试确定Z的分布. 解 由样本的同分布性知： 由此得： 由t分布的构造知: 0 证明 定理:设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X~N(μ,σ2)的一个样本,则 且它们表示的随机变量是相互独立的,故 证明 解 所以 * 例: 设和是来自同一总体N(0,9)的两个独立的样本,统计量: 例: 设是来自总体的样本,求样本方差大于2.622的概率. 将标准化得. 定义：设随机变量X具有密度函数： 则称X服从第一自由度为，第二自由度为的F分布. 记为. 定理：设X~N(0,1)，，且X与Y相互独立，则 反之，若T~t(n)，则有相互独立的X~N(0,1)，使 例: 从正态总体中抽取容量为16的样本，试求样本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率. 例：设是来自总体的样本,求. 由于也具有相互独立性及与同分布性,于是 由于,,即, 于是得 定义:若随机变量X具有密度函数： , 则称X为服从自由度n的T分布, 记为. 例: 设总体有的两个独立样本，，求两个样本均值之差小于1.3的概率. 由分布的构造知,. 定义:若随机变量X具有密度函数： 其中，称为函数，则称X服从自由度n的分布，记为. 例: 设总体有的两个独立样本，求两个样本方差之比大于1.