§4.2随机变量的方差.ppt

* 由第一节我们知道，随机变量的数学期望 可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期 望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们 仍用类似于第一节中的例子来说明。 假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的 环数分别为 §4.2随机变量的方差 容易算得，二人击中环数的平均值都是 8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的 更稳定？ 甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9 乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环 数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定 一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距 平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应 由偏差的绝对值之和求平均更合适。 对于甲选手，偏差绝对值之和为： 所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为 0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平 发挥更稳定些。 类似的，为了避免运算式中出现绝对值 符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。 定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差; 显然：E(X-EX)=0. 定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2 为X的方差,记为: DX= E(X-EX)2 特别,记 σx= 注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 结合随机变量函数的数学期望可得: (1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则 DX= E(X-EX)2 (2)若X为连续型,X~f(x),则 DX= E(X-EX)2 随机变量的方差 为X的标准差. 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差D(X)=0,则r.v. X 以概率1取常数值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； D(X)=E[X-E(X)]2 方差的性质: (1)D(c)=0; (2)D(aX)=a2D(X) (3)D(X+b)=DX (4)DX=EX2-(EX)2 证明:(2)D(aX)=E[aX -E(aX)]2 =E[a(X-EX)]2 =a2E(X-EX)2 =a2D(X) (4) DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2] =EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2 =EX2-(EX)2 EX2 = DX +(EX)2 (常用于计算方差) (注:EX是常数) (1)D(c)=0; (2)D(aX)=a2D(X) (3)D(X+b)=DX (4)DX=EX2-(EX)2 从而 证明： 若X与Y相互独立,则已知 性质 （5）可以推广到多个相互独立的 随机变量的情形。例如，当 相互 独立时，成立 例1 对服从（0—1）分布的随机变量 X ，分布列为 求 X 的方差。 已知 而且 则 X 的方差为 解 由上节中的例14 知 其中 服从同一（0—1）分布： 且 相互独立。又由本节例 1 有 于是可得： 解 例2 设随机变量 X 服从二项分布 ， 试求 例 已知随机变量X服从二项分布， 且E（X）= 2.4, D(X)=1.44, 则二项分布的参 数n,p的值为（ ） ① n=4,p=0.6 ② n=6, p=0.4 ③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1 例设X表示 10次独立重复射击命中 目标的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则X2 的数学期望E（X2）=( ) ② 18.4 例3 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求 在本章第一节的例中我们已经知道 从而 解 例4 对服从[a，b]区间上均匀分布的随机 变量X ，计算 已知