《平面向量的数量积及运算律》课件.ppt

平面向量的数量积及运算律 1．a · b= b · a 交换律 2. (λ·a) b= a · (λ b)= λ(a · b)= λ a · b 3. (a+b) · c= a · c+ b · c 分配律 思考: 结合律成立吗: (a · b) · c=a · (b · c) ? * * 毛 建 新 问题 θ s F 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 数量 叫做力F 与位移s的数量积 向量的夹角 两个非零向量 和 ，作 ， 与 反向 O A B O A 与 同向 O A B B 则 叫做向量 和 的夹角． 记作 与 垂直， O A B 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 例1、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 A B C 通过平移 变成共起点！ 5.6 平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． 5.6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a ·b. a ·b =|a | |b |cosθ 平面向量的数量积 讨论总结性质： （1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =-| a | · | b | ． 特别地 （4） （5）a · b ≤| a | · | b | 练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 8. × 例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） 的数量积. A B C 例3 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． θ s F ，过点B作 垂直于直线OA，垂足为 ，则 | b | cosθ O A B a b O A B a b | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． θ为锐角时， | b | cosθ＞0 θ为钝角时， | b | cosθ＜0 θ为直角时， | b | cosθ=0 B O A a b 平面向量的数量积及运算律 讨论总结性质： （1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =—| a | · | b | ． 特别地 （4） （5）a · b ≤| a | · | b | a ·b =|a | |b |cosθ 运算律 * *