《概率论与数理统计》2-2.ppt

二、几种重要的离散分布 3. 二项分布 4. 泊松分布 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概率分布 定义2.1 称为离散型随机变量的概率分布或分布律. 分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质: X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … ? 例1 解 X的分布律为: 例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止 汽车通过.以X表示汽车首次停下时,它已通过的 信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求 X的分布律. 解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分布律为 X 0 1 2 3 4 P p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 X 0 1 2 3 4 P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 解 由分布律的性质,得 1. 两点分布(0-1分布) p 1-p Pk b a X 如果随机变量X只取两个值,就称X服从两点分布,一般两点分布取值为a和b,分布律为: 如果a=0,b=1, 则称X服从0-1分布,记作 0.45 0.55 Pk 1 0 X 0.6+0.3 0.1 Pk 1 0 X 则X服从0-1分布,其分布律为 解 令 例2 商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品,1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张,求取得合格品的概率. 例3 在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等. 若定义随机变量X为 则有 P(X=0)=0.05, P(X=1)=0.95 若定义随机变量Y为 则有 P(Y=0)=0.95, P(Y=1)=0.05 从中看到X,Y都服从(0-1)分布 2. 超几何分布 例4 在N件产品中,有M件次品.现从中随机地取出n件(不放回抽样), 假如取到每件产品的机会都相等. 求取出的n件产品中次品数X的分布律. 其中 (０ ≤ M ≤ N, ０≤ n ≤ N)。 解 依题意,Ｘ的可能取值为０,1,2,…,n, 由于从N 件中任取n件,共有 种取法, 而n件中有X=m件 次品的取法共有 因此 称此分布为超几何分布,记做 H(n,M,N) 定义 若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n且其分 布律为 则称X服从参数为n,p的二项分布,记做X~B(n,p) 例5 从次品率为20%的一大批产品中任取5件产 品, 求次品数X的分布率,并求P(X≤3)之值. 解 由于产品数量大,抽取件数少,可视为有放回抽 样. 因此每取一件产品可看作是一次试验, 这是一个 贝努利概型. 次品数X服从二项分布B(5,0.2) 例6 一办公室内有8台计算机,在任一时刻每台计算 机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立, 问在同一时刻: (1)?????? 恰有3台计算机被使用的概率是多少? (2)?????? 至多有2台计算机被使用的概率是多少? (3)?????? 至少有2台计算机被使用的概率是多少? 解 设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数,则 X~B(8,0.6),于是 0.0168 0.0896 0.2090 0.2787 0.2322 0.1239 0.0413 0.0079 0.0007 P 8 7 6 5 4 3 2 1 0 X 当k从0增加时,概率P(X=k)经历了一个从小到大,又从 大变小的过程, 事件“X=5”发生的概率最大,我们称之 为最可能事件, “5次”为最可能次数. 一般地,若X~B(n,p),则当(n+1)p是整数时,X有两个最 可能次数(n+1)p及(n+1)p -1;当(n+1)p不是整数时, 最可能次数为[(n+1)p] (即(n+1)p的整数部分). 0-1分布和二项分布的关系 p 1-p Pi 1 0 X 由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验,每 次试验只有两个可能结果,即事件A发生或者不发生, 如果令 即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变 量之和, 而且这n个随机变量的取值互不影响.反之, n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项 分布. 超几何分布和二项分布的关系 定理1 如果随机变量X服从超几何分布H(n,M,N), 则当N→∞时，X近似地服从二项分布B(n,p),即 证明 见教材 注：定理1表明，当一批产品总数N很大，而抽取 的样品数n远小于总数N时，则不放回抽样(超几何 分布)与有放回抽样(二项分布)将无很大的差别。 定义 如果随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,